Урок 19. Додавання і віднімання алгебраїчних дробів

Додавання алгебраїчних дробів

Додавання раціональних дробів з однаковими знаменниками

На попередніх уроках математики ми розглядали додавання дробів, в чисельниках і знаменниках яких містяться натуральні числа (див. Урок 16. Додавання і віднімання дробів, мішаних чисел). Нагадаємо, що для натуральних чисел a, b, c при додаванні дробів з однаковими знаменниками стверджується наступна рівність:

Дана рівність буде справджуватись і для раціональних значень  a, b, c, за винятком коли с = 0.

Тому можемо озвучити правило додавання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками:

Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники, а знаменник залишити той самий.

Приклади:

Додавання раціональних дробів з різними знаменниками

Правило додавання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:

Щоб додати алгебраїчні дроби з різними знаменниками, треба спочатку звести їх до спільного знаменника і після цього виконати додавання за правилом сумування дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо приклад додавання алгебраїчних раціональних дробів з різними знаменниками:

В даному прикладі спільним знаменником буде добуток 2а і 5х, тобто 10ах

Приклади:

Якщо треба знайти суму алгебраїчного дробу і цілого виразу, то їх можна додати як дроби, записавши вираз у вигляді дробу зі знаменником одиницею.

Наприклад,

Віднімання алгебраїчних дробів

Віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками

Оскільки віднімання дробів, членами яких є одночлени, многочлени та раціональні числа, виконується за правилом віднімання дробів з натуральними числами, нагадаємо нашим читачам правило віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками:

Отже, щоб відняти алгебраїчні дроби з однаковими знаменниками, треба відняти їх чисельники, а знаменник залишити без змін.

Приклад

Віднімання раціональних дробів з різними знаменниками

Щоб відняти алгебраїчні дроби з різними знаменниками, треба спочатку звести їх до спільного знаменника і після цього виконати віднімання.

В прикладі вище спільним знаменником є добуток знаменників дробів. Проте так є не завжди, для знаходження спільного множника треба знайти найменше спільне кратне знаменників, розкладаючи їх на прості множники.

Приклад. Знайти різницю алгебраїчних дробів:

Спочатку розкладемо знаменники дробів на множники:

Очевидно, що спільним знаменником даних дробів буде:

Тому:

Приклади

Якщо треба знайти різницю алгебраїчного дробу і цілого виразу, то віднімання можна виконати, записавши цілий вираз у вигляді дробу зі знаменником 1.

Наприклад,

Приклад. Спростити алгебраїчні дроби, виконавши віднімання:

Спочатку перетворимо перший дріб:

Другий дріб можна записати таким чином:

Тому: