Урок 6. Многочлен. Стандартний вигляд многочлена і степінь

Що таке многочлен?

На одному з уроків ми розглядали множення одночленів. Проте з одночленами можна виконувати інші дії – додавання і віднімання.              

Наприклад, дано два одночлени 8х і 20у.

8х + 20у – запис суми одночленів 8х і 20у

8х - 20у – запис різниці одночленів 8х і 20у. Крім того, даний вираз можна подати у вигляді суми:

8х + (-20у)

В результаті додавання одночленів отримаємо многочлен, кожний доданок якого заведено називати членом.

Отже, многочлен – це сума декількох одночленів.  

Наприклад, многочлен 5ab – 10х + 20 містить такі 3 члени: 5ab, 10х, 20, тому його ще називають тричленом. Многочлен, який складається з двох членів, називають двочленом. Відповідно і одночлен є многочленом, який містить один член.

Варто зазначити, що не всі вирази є многочленами. Існують цілі вирази, які не відносяться до многочленів. Наприклад,

Тобто, в загальному всі цілі вирази діляться на многочлени і не многочлени.

Многочлен стандартного вигляду: як звести

До складу многочлена можуть увійти подібні члени (однакові доданки або доданки, що відрізняються лише коефіцієнтами).

10a + 8a – 20 даний тричлен містить подібні члени 10а і 8а.

Після зведення подібних доданків отримаємо двочлен 18а – 20. Тобто, ми звели многочлен до стандартного вигляду.

Многочлен стандартного вигляду – це многочлен, членами якого є одночлени стандартного вигляду і серед них нема подібних членів.

Нагадаємо, щоб звести подібні доданки, треба додати їх коефіцієнти і результат помножити на спільну буквену частину. Тобто, виконавши арифметичні дії додавання, віднімання, можна подати многочлен в стандартному вигляді.

Приклад. Визначити, які многочлени мають стандартний вигляд:

Відповідь: перший і другий многочлени записані у стандартному вигляді. Третій многочлен не має стандартного вигляду, проте виконавши дії, можемо звести його до стандартного вигляду:

Приклад. Звести подібні члени многочлена.

Як знайти степінь многочлена?

Степінь многочлена (порядок многочлена) – це найбільший із степенів всіх членів многочлена.

Наприклад, для многочлена:

Найвища степінь відносно змінної а – четверта степінь. Говорять, що даний многочлен є многочленом четвертої степені відносно змінної а.

Впорядкувавши многочлен за спадними степенями відносно змінної а, отримаємо:

Якщо многочлен містить декілька змінних, то вибирають головну букву (змінну), відносно якої визначатимуть степінь і записують його за степеню (за спаданням степені). Перший член розташованого многочлена, що містить головну літеру у найвищій степені, називають старшим членом, а останній – нижчим членом цього многочлена.           

Приклад. Подайте многочлен за спадними степенями х

Відповідь:

Приклад. Визначте степінь многочлена відносно змінної z

Відповідь: 3 степінь многочлена відносно змінної z

Завдання

Визначити, чи є тотожніми вирази:

Відповідь: так, вирази є тотожніми, оскільки в першому виразі після додавання отримаємо вираз, що дорівнює другому.

Відповідь: ні, дані вирази не є тотожніми

Приклад. Визначити значення многочлена, якщо s = 1,  t = 2,5

Приклад. Записати многочлен у стандартному вигляді