Раціональні алгебраїчні і буквені вирази. Обчислення значення виразу

Буквений вираз

Буквений вираз – це запис, в якому використовують букви, числа, знаки арифметичних дій і дужки.

Відповідно значення буквеного виразу залежить від значень букв.

В алгебрі, позначаючи цифри, активно використовують букви, а точніше – латинські букви. Основна мета вживання букв:

• позначення невідомих чисел
• позначення довільних чисел

Приклад позначення буквою невідомого числа: х + 5,8 = 15,9.

Невідомі числа найчастіше позначають буквами x,  y,  z. Відомі числа - a,  b,  c,  d, цілі - m,  n,  к,  l

На попередніх уроках ми розглядали властивості додавання, віднімання, множення і ділення, для запису цих законів користуються також буквеним виразом. Наприклад, переставний закон: a + b = b + a

Оскільки букви позначають числа, то всі дії з буквами виконують як з числами. Наприклад, сума чисел а і b матиме вигляд а + b, різницю чисел а і b записують так: а - b

Якщо за допомогою букв позначають множники, то, як правило, між ними знак множення не ставлять. Наприклад, a ⋅ b ⋅ c записують як abc,  100 ⋅ х = 100x, проте добуток чисел 10 і 8 записують 10⋅8 і в жодному разі не використовують запис 108.

Раціональні вирази

Раціональний алгебраїчний вираз – це сукупність чисел, позначених буквами або цифрами і з'єднаних знаками дій.

Приклади запису раціональних виразів:

Вирази a; 3,7 також називають раціональними виразами, хоча вони складаютьсь лише з однієї букви і не містять цифр (а) або містять лише цифри (3,7).

Крім того, існує поділ раціональних виразів на цілі числа і вирази (цілі вирази) та дробові числа і вирази (дробові вирази). Розглянемо детальніше кожен із них.

Цілі вирази

Раціональний алгебраїчний вираз називають цілим, якщо він не містить ділення на буквені вирази.

Приклади цілих виразів:

Як бачимо, вищеописані вирази не містять ділення на буквені вирази, саме тому їх називають цілі числа і вирази.

Дробові раціональні вирази

Дробові вирази – це вирази, які є часткою від ділення двох цілих виразів.

Числове значення алгебраїчного виразу: як знайти значення виразу

Будь-який алгебраїчний вираз може мати одне значення або не мати жодного значення. Говорять, що алгебраїчний вираз має числове значення, тобто число, яке можна отримати внаслідок вирішення числового виразу. Якщо вираз містить лише одне число, то саме воно буде числовим значенням виразу. Проте є вирази, для яких неможливо обчислити числове значення, наприклад ділення на 0. В таких випадках говорять, що вираз не має сенсу.

Якщо вираз містить змінну, наприклад, (b - 4)(b + 1), то його числове значення залежить від значення змінної b. Відповідному кожному значенню b відповідає певне значення виразу.

Числовим значенням алгебраїчного виразу при даному значенні букв, що входять в нього, називається число, отримане в результаті підстановки замість літер відповідних чисел і виконання зазначених дій.

Тобто, для того, щоб обчислити значення виразу, треба виконати арифметичні дії і при необхідності замість букв підставити відповідні числа.

Приклад. Знайдіть значення виразу 4b + 10 при b = 2,2.

Розв’язання:

4b + 10 = 4⋅2,2 + 10 = 8,8 + 10 = 18,8

Відповідь: при b = 2,2 числове значення виразу дорівнює 18,8.

Приклад. Обчисліть значення виразу при a = 1, n = –2,5:

Розв’язання:

Як бачимо, в результаті обчислення ми отримали дріб з чисельником 1 і знаменником 0. Оскільки на нуль ділити не можна, то даний вираз при a = 1, n = –2,5 не має сенсу або значення a = 1, n = –2,5 недопустимі для цього алгебраїчного виразу.

Допустимі значення змінної у виразі – це числові значення, які можуть приймати букви в алгебраїчному виразі, не позбавляючи його сенсу.  

Порядок виконання дій у виразах

На одному з уроків математики ми вивчали порядок виконання дій у числовому виразі. Тепер розглянемо порядок дій в алгебраїчних раціональних виразах. Варто зазначити, що порядок дій в алгебрі відповідає порядку арифметичних дій. Виключенням є один випадок: в алгебрі під виразом a : bc завжди розуміють дріб з чисельником а і знаменником, який дорівнює добутку bc.

У виразах з дужками, спочатку виконують дії в дужках. Якщо вираз не містить дужок, то спочатку виконуємо піднесення до степеня, потім множення і ділення, після цього – додавання і віднімання.

Приклад. Знайти значення виразу при a = –1;  b = 0,5

Розв’язання:

Відповідь: при a = –1;  b = 0,5 вираз дорівнює 4