Урок 18. Скорочення алгебраїчних дробів

Основна властивість алгебраїчного дробу

Вивчаючи звичайні дроби, ми розглядали основну властивість дробів, яка стверджується для будь-яких натуральних a, b  і m:

Якщо чисельник і знаменник звичайного дробу помножити на одне й те саме натуральне число, дістанемо дріб, який йому дорівнює.

Тому можемо дати визначення основній властивості алгебраїчного дробу:

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той самий вираз (многочлен), то дістанемо дріб, який тотожно дорівнює даному.

де А, В і С – многочлени, причому В і С не дорівнюють нулю.

Ще одна важлива особливість алгебраїчного дробу:

Якщо в чисельнику і знаменнику дробу одночасно змінити знаки на протилежні, то значення дробу не зміниться.

Більше про властивості, перетворення, скорочення дробів читайте в нашому уроці.

Як правильно скоротити алгебраїчний дріб?

Замінити дріб тотожно рівним йому – означає скоротити його. Тобто, скорочення дробу означає розділити чисельник і знаменник на їх спільний дільник.

Якщо в чисельнику або знаменнику дробу є многочлени, то перед скороченням їх можна розкласти на множники. Крім того, може виникнути необхідність у зміні знаку чисельника або знаменника, в цьому випадку треба перед дробом також змінити знак на протилежний.

Наприклад,

Приклад

Розглянемо скорочення дробу, члени якого є многочленами.

В чисельнику ми винесли спільний множник 2а за дужки, а знаменник (різницю квадратів) розклали на відповідні множники.

В другому прикладі знаменник (m-1) ми замінили на (1-m) і винесли знак «мінус» перед дробом, це дозволило нам скоротити дріб. Проте дане перетворення і  рівність будуть правильними при всіх m, крім m=1.

Приклад

Приклади. Скоротіть дроби