Урок 11. Спосіб групування для розкладання многочлена на множники

Спосіб групування для розкладання на множники

Існує декілька способів розкладання многочлена на множники, один з них – групування. Даний спосіб використовують, якщо всі члени многочлена не мають спільного множника, який можна винести за дужки, проте деякі члени многочлена можна згрупувати за певним однаковим множником.

Розглянемо многочлен mb + mc + yb + yc. Ми можемо його розбити на 2 групи: (mb + mc) + (yb + yc).

З кожної групи можемо винести спільний множник за дужки (з першої – m, з другої – y):   

m (b + c) + y (b + c) – отриманий многочлен має спільний множник многочлен (b + c), який можна винести за дужки:

(b + c)(m + y)

Таким чином, весь процес перетворення можна записати:

mb + mc + yb + yc = (mb + mc) + (yb + yc) = m (b + c) + y (b + c) = (b + c)(m + y)

Даний многочлен можемо згрупувати іншим способом (перший член з третім і другий член з четвертим):

mb + mc + yb + yc = (mb + yb) + (mc + yc) = b (m + y) + c (m + y) = (m + y) (b + c)

Як бачимо, результат групування є однаковим.

Отже, групування – це розкладання многочлена на множники шляхом його запису у вигляді пар доданків таким чином, щоб із кожної пари можна було винести один і той самий множник за дужки. Після цього вихідний многочлен записують у вигляді добутку.

Тому, для того щоб розкласти многочлен на множники способом групування, потрібно:

1. Об’єднати члени (доданки) многочлена в групи за спільним множником
2. Винести спільний множник за дужки
3. В отриманому виразі знову винести спільний множник за дужки

Зміна знаку у групах многочлена на протилежний

Групуючи члени многочлена, може виникнути необхідність у зміні знаку в групі доданків на протилежний. Наприклад,

Очевидно, що можна винести спільний множник (х – у) за дужки, для цього треба поміняти в другій групі знак перед дужками на протилежний:

Представлення членів многочлена у вигляді суми або різниці перед групуванням

Крім того, бувають приклади та завдання, в яких перед групуванням треба представити певний член многочлена у вигляді суми або різниці. Розглянемо детальніше на прикладі.

8х ми записали як суму 6х і 2х. Це дозволило нам згрупувати перший і другий, третій і четвертий член многочлена за спільним множником (х + 6).

Приклад

В цьому виразі ми представили -2х як -4х + 2х, після цього винесли спільний множник першого і другого члена х за дужки, для третього і четвертого члена – спільним множником є число 2. Вкінці винесли спільний множник (х – 4) за дужки.

Приклад

Розкласти многочлен на множники способом групування: приклади

8a + 8b – an – bn = 8 (a + b) – n (a + b) = (a + b) (8 – n)

ay – az + ny – nz = a (y – z) + n (y – z) = (y – z)(a + n)

10x – xc – 10 + c = (10x – 10) – (xc – c) = 10 (x – 1) – c (x – 1) = (x – 1) (10 – c)

Знайдіть значення виразу 17,2 · 8,1 + 23,8 · 5,1 – 17,2 · 7,6 – 23,8 · 4,6

Для того щоб спростити розрахунки, спробуємо згрупувати члени виразу за спільними множниками:

17,2 · 8,1 + 23,8 · 5,1 – 17,2 · 7,6 – 23,8 · 4,6 = (17,2 · 8,1 – 17,2 · 7,6) + (23,8 · 5,1 - 23,8 · 4,6) = 17,2 (8,1 – 7,6) + 23,8 (5,1 – 4,6) = 17,2 ·0,5 + 23,8 · 0,5 = 0,5 (17,2 + 23,8) = 0,5 · 41 = 20,5.

Відповідь: 20,5