Урок 17. Алгебраїчні дроби. Тотожні перетворення

Алгебраїчний дріб. Тотожне перетворення виразу

Не завжди можна поділити два вирази націло без остачі. Наприклад, частки від ділення двох виразів

неможливо записати у вигляді цілих виразів.

Можемо виокремити декілька випадків, коли неможливо виконати ділення одночленів без остачі:

1. Ділене містить змінну, яка відсутня в дільнику.
2. Степінь будь-якої змінної діленого є меншою за степінь цієї ж змінної в дільнику

Відповідно, якщо при діленні двох виразів частка не є цілим виразом, то заведено її записувати у вигляді дробу.

Наприклад, 

Дріб – це частка від ділення двох виразів, що записана за допомогою дробової риски.

Для будь-яких виразів А і В частка від їх ділення буде дробом, де вираз А є чисельником дробу, а вираз В – знаменником:

Дроби можуть бути числовими (дроби, в чисельнику і знаменнику яких є числові вирази) і зі змінними (дроби, які містять вирази зі змінними).

Приклади числових дробів:

Приклади дробів зі змінними:

Проте дроби зі змінними мають значення не при всіх змінних. Наприклад, дріб при а = 5:

не є числом, оскільки знаменник дорівнює 0, а на нуль ділити не можна. Тому дріб з чисельником 2а + 3 і знаменником а – 5 не має значення при а = 5, тому для даного дробу допустимими є всі значення змінної а, крім а = 5.

Отже, можемо зробити наступний висновок:

Для змінних, що входять у знаменник дробу, допустимими є тільки ті значення, які не перетворюють цей знаменник на нуль.

Два вирази, відповідні значення яких рівні при всіх допустимих значеннях змінних, називаються тотожно рівними, або тотожними. Заміна одного виразу іншим, тотожним йому, називається тотожним перетворенням даного виразу.

Дане визначення практично не відрізняється від означення тотожних цілих виразів. Відмінністю є важливе ключове слово «допустимих». Адже в цілих виразах всі значення є допустимими, без виключень. Більше інформації про тотожні вирази і тотожні перетворення виразів читайте тут.

Дріб може бути звичайним, якщо його члени є натуральними числами. Рекомендуємо почитати:

Урок. Звичайні дроби. Правильні і неправильні. Мішані і дробові числа

Якщо члени дробу є многочленами, то такий дріб називають алгебраїчним.

Приклади: запис алгебраїчних дробів

Записати частки від ділення виразів у вигляді дробів:

Визначіть значення змінної при якому вираз не має змісту:

Відповідь: при n = 4 вираз не має змісту

Відповідь: при x = -5 вираз не має змісту

Відповідь: при n = 0 вираз не має змісту

Відповідь: при x = 0 і x = 3 вираз не має змісту