Урок 16. Додавання і віднімання дробів, мішаних чисел

Як додавати дроби?

Говорячи про додавання дробів варто виокремити додавання дробів з однаковими знаменниками та додавання дробів, що мають різні знаменники. Тому розпочнемо з першого і простішого варіанту.

Додавання дробів з однаковими знаменниками

Для того, щоб зрозуміти, як додаються дроби з однаковими знаменниками, розглянемо задачу.

Приклад. На столі лежить три сьомих частки кавуна, через деякий час на стіл поклали ще дві сьомих частини кавуна. Скільки всього частин кавуна стало на столі?

Дію додавання можемо записати так: 3/7 + 2/7

В результаті на столі стало 3+2=5 сьомих частин кавуна, тобто 5/7. Таким чином, 3/7 + 2/7 = 5/7

Отже, в результаті додавання дробів з однаковим знаменником ми отримали дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників дробів, що додаються, а знаменник дорівнює знаменнику вихідних дробів.

Запишемо дію додавання дробів у загальному вигляді, де b – однаковий знаменник, a і c – чисельники дробів, що додаються.

Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їхні чисельники і знаменник залишити без змін.

Зверніть увагу, при додаванні дробових чисел можна користуватися властивостями і законами додавання натуральних чисел. Переставний, сполучний закони діють також і при додаванні дробів.

Приклад. Додайте дроби 3/43 і 9/43

Оскільки дроби мають однакові знаменники, то варто додати чисельники і знаменник залишити без змін: 3 + 9 = 12 запишемо в чисельнику суми, знаменник суми – 43.

Відповідь: 12/43

Ще одне важливе правило: якщо після додавання дробів отримали дріб, який можна скоротити, то треба виконати дію скорочення. Якщо в сумі отримали неправильний дріб, то треба перетворити його в мішане число.

Приклад. Знайти суму дробів 3/14 і 5/14

В результаті додавання отримали дріб, який можна скоротити, адже чисельник і знаменник можна поділити на 2

Приклад. Знайти суму дробів 7/24 і 21/24

В результаті отримали неправильний скоротний дріб, який треба скоротити.

Після скорочення отримали неправильний дріб 7/6, який можна перетворити в правильний, виокремивши цілу частину.

Додавання дробів з різними знаменниками

Оскільки ми вміємо додавати дроби з однаковими знаменниками, то для того щоб додати дроби з різними знаменниками, треба їх спочатку звести до спільного знаменника.

Правило додавання в даному випадку звучить так: 

Для того, щоб додати дроби з різними знаменниками, треба їх спочатку звести до спільного знаменника, після цього слід додати чисельники і в знаменник записати спільний знаменник дробів.

Приклад. Додати дроби 5/6 і 3/12

Оскільки дроби мають різні знаменники, спочатку зведемо їх до спільного знаменника.

НСК (6; 12) = 12

Додаткові множники: 12 : 6 = 2, 12 : 12 = 1

Отримаємо такі дроби: 

Додаємо дроби:

Після додавання отримали неправильний дріб 13/12, який перетворили у змішане число 1 1/12

Додавання звичайного дробу і натурального числа

При додаванні натурального числа і правильного дробу отримаємо змішане число, ціла частина якого відповідає натуральному числу, а дробова – дробу, що дадається.

Наприклад,

При додаванні натурального числа і неправильного дробу варто виділити з дробу цілу частину. Після цього натуральне число сумують з виокремленою цілою частиною і додають дробову частину.

Додавання мішаних чисел

При додаванні мішаних чисел користуються переставним та сполучними законами додавання. Завдяки цим властивостям зручніше додати цілі та дробові частини мішаних чисел. Отже, адлгоритм додавання мішаних чисел буде наступним:

1. Додаємо цілі частини мішаних чисел
2. Додаємо дробові частини чисел. Якщо дробові частини мають різні знаменники, то перед додаванням зводимо їх до спільного знаменника
3. Додаємо отримані результати і при необхідності скорочуємо дріб, виокремлюємо цілу частину.

Приклад. Знайти суму мішаних чисел:

Аналогічно додаються дроби, мішані числа, які містять три і більше доданків.

Приклад:

В даному прикладі ми використали переставний і сполучний закони додавання, що дозволило спростити розрахунки і швидко знайти суму.

Як віднімати дроби

Віднімання дробів з однаковими знаменниками

Щоб зрозуміти суть віднімання дробів, які мають однакові знаменники, розглянемо задачу.

Задача. На столі лежало 5/7 частин кавуна, Олег з’їв 2/7 частин. Скільки частин кавуна залишилось?

Логічно, що залишилось 5 - 2 = 3 сьомих частини (3/7).

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти чисельник від’ємника і залишити знаменник без змін.

Приклад. Відняти 3/17 від дробу 15/17

При необхідності отриманий дріб в різниці варто скоротити або виокремити цілу частину.

Приклад. Від 24/15 відняти 4/15          

Після виконання віднімання отримали неправильний дріб, який можна скоротити, поділивши чисельник і знаменник на 5. Отримаємо дріб 4/3, перевторивши в мішане число, отримали результат одна ціла одна третя.

Віднімання дробів з різними знаменниками

Для того, щоб відняти дроби з різними знаменниками, треба їх спочатку звести до спільного знаменника, після цього від чисельника зменшуваного треба відняти чисельник від’ємника, в знаменник дробу записати спільний знаменник.

Приклад. Відняти дроби: 2/9 і 1/15

В першу чергу зводимо дроби до спільного знаменника, визначивши найменше спільне кратне чисел 9 і 15:

НСК (9; 15) = 45

Знаходимо додаткові множники: 45 : 9 = 5 і 45 : 15 = 3

Перемножимо чисельники дробів на відповідні множники, отримаємо чисельник першого дробу: 5 * 2 =10, а чисельник другого дробу: 1 * 3 = 3.

Віднімемо чисельники: 10 – 3 = 7, знаменник дробу 45

Приклад. Від дробу 11/12 відняти дріб 5/8

Віднімання мішаних дробів (мішаних чисел) з різними знаменниками

Для того щоб відняти мішані числа, треба спочатку звести їх до спільного знаменника. Після цього почергово віднімаємо цілі і дробові частини.

Приклад. Знайти різницю мішаних дробів:

Розв’язання:

Якщо дробова частина зменшуваного менша за дробову частину від’ємника, то треба взяти одну одиницю з цілої частини зменшуваного, роздрібнити її в ті частки, в яких виражена дрібна частина, і додати до дробової частини зменшуваного.

На прикладі це виглядатиме так:

Приклад. Знайти різницю мішаних чисел:

Віднімання дробу від натурального числа

Для того щоб відняти від натурального числа дріб, можна натуральне число представити у вигляді дробу.

Приклад. Від числа 8 відняти 2/3

Розглянемо ще декілька прикладів на віднімання натуральних і мішаних чисел

Приклад. Знайти різницю чисел 4 і три цілих три п’ятих

Приклад. Знайти різницю чисел 1065 і 13/62

Представимо зменшуване 1065 як суму чисел 1064 і 1 і виконаємо обчислення:

Віднімання натурального числа від звичайного дробу: як відняти ціле число від дробу

Для виконання даної дії варто відобразити натуральне число у вигляді звичайного дробу зі знаменником одиницею і звести до спільного знаменника.

Таким чином, для додавання і віднімання дробів можна використовувати правила, закони і властивості додавання та віднімання натуральних чисел. Зручно групувати числа з числами, дроби з дробами, як у прикладах нижче: