Урок 1. Ірраціональні та дійсні числа: порівняння

Ірраціональні числа

На попередніх уроках з математики ми вивчали натуральні числа, цілі числа, раціональні. Сьогодні ми розглянемо дещо інші числа, відмінні від раціональних. Наприклад, число π = 3,1415926…, яке являє собою нескінченний неперіодичний десятковий дріб, очевидно, що не можемо віднести до раціональних, цілих чи натуральних чисел. Такі числа заведено називати ірраціональними.

Числа, які зображуються нескінченними неперіодичними десятковими дробами, називають ірраціональними.

Ірраціональні числа можуть бути як додатними, так і від’ємними.

Дійсні числа. Множина дійсних чисел

Ірраціональні числа разом з раціональними утворюють множину дійсних чисел. Множину дійсних чисел позначають буквою R. Нагадаємо позначення інших множин:

• Множина натуральних чисел – N
• Множина цілих чисел – Z
• Множина раціональних чисел – Q
• Множина дійсних чисел - R

Кожна множина є підмножиною (складовою) наступної множини. Це означає, що будь-яке натуральне число водночас є цілим, раціональним і дійсним числом. Будь-яке раціональне число є дійсним числом і т.д.

Для запису приналежності певного числа до певної множини використовують знак ∈.

Наприклад, 10 ∈ N (число 10 є натуральним або число 10 належить до множини натуральних чисел).

–7 ∉ N (число -7 не є натуральним)

Порівняння дійсних чисел

Дійсні числа, які записані у вигляді нескінченних десяткових дробів, порівнюють за правилом порівняння десяткових дробів.

Тобто, можемо озвучити такі правила порівняння дійсних чисел:

З двох додатних дійсних чисел більшим буде число, у якого ціла частина більша. А якщо цілі частини додатних дійчних чисел є однаковими, то більшим буде число, у якого перший із неоднакових десяткових знаків більший, а всі попередні однакові.

Наприклад,

1,25368…  > 1,25239 …

7,8652 … < 7,87… 

З двох від’ємних дійсних чисел більшим є число, у якого абсолютна величина менша. Кожне від’ємне число є меншим за нуль і за будь-яке додатне число.

Наприклад,

–2,3252 … < –2,3239 …

–0,0111 … < 0,00123 …

Які дійсні числа є рівними?

Якщо дійсні числа можна записати у вигляді одного і того ж десяткового дробу, то такі числа будуть рівними (однаковими).

Дії над дійсними числа

Дійсні числа можна додавати, віднімати, множити і ділити (якщо дільник не дорівнює 0), підносити до степеня. Для зручності, якщо один з доданків представлений у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу, а інший у вигляді цілого числа, то ціле число можна записати також у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу, дописавши нескінченне число нулів. Наприклад,

4,6 = 4,600… ,

3 = 3,000… .

Множення дійсних чисел виконують за правилами множення раціональних чисел: добуток двох від’ємних дійсних чисел є доданим числом, а добуток від’ємного і додатного дійсного числа – від’ємне число.

Додавання, віднімання, ділення і піднесення дійсних  чисел до степеня виконують як аналогічні операції з раціональними числами. Для додавання і множення виконуються переставний, сполучний і розподільний закони.

Розв’язуючи приклади і задачі, ірраціональні числа при необхідності округлюють, відкидаючи їх нескінченні «хвости десяткових знаків».