Раціональні числа: що таке, порівняння, модуль, приклади

Що таке раціональні числа?

Раціональні числа – це всі цілі числа та всі дроби.

Говорять, що дробові та цілі числа утворюють множину раціональних чисел. Раціональні числа можна визначити як всі додатні числа (цілі і дроби), всі від’ємні числа (цілі і дроби) і число 0.

Додатні і від'ємні раціональні числа

На одному з уроків математики ми розглядали, які цілі числа є додатними, а які від’ємними. Поняття раціональних чисел більш широке, адже воно включає крім цілих чисел, додатні і від’ємні дробові числа. Нагадаємо, число нуль не є ні додатним, ні від’ємним, воно відділяє додатні числа від від’ємних. Відповідно числа зі знаком «+», які є більшими за 0, називають додатними, числа зі знаком «-», які є меншими за 0, називають від’ємними.

Приклади додатних і від’ємних раціональних чисел

+4,5, 132,89, +36,9, 8,3 – додатні раціональні числа

-4,5, -132,89, -36,9, -8,3 – від’ємні раціональні числа

Зверніть увагу, якщо при записі додатних чисел знак «+», як правило, опускають, то при записі від’ємних чисел знак мінус пишуть завжди. 4,5 і +4,5 – це запис одного і того ж числа.

Протилежні раціональні числа

Два числа, що відрізняються одне від одного лише знаком, називаються протилежними числами.

Приклади протилежних раціональних чисел: 2,3 і -2,3 (число 2,3 протилежне числу -2,3 і навпаки число -2,3 протилежне числу 2,3); 48,9 і -48,9; 200,5 і -200,5 і т.д.

Приклад. Записати числа, протилежні числам -0,33, 1,6, 8,3, -2,3

Відповідь: 0,33; -1,6; -8,3; 2,3

Модуль раціонального числа, десяткового дробу

Модулем (абсолютною величиною) додатного числа і числа 0 є те само число; модулем від’ємного числа є протилежне йому число.

Виходячи з визначення поняття модуля, модуль нуля дорівнює нулю: |0| = 0 і модулі протилежних чисел є рівними.

Чому модулі протилежних чисел є рівними? Згідно альтернативного визначення модулем називають відстань від початку відліку до точки на координатній прямій, що відповідає цьому числу. Більше інформації про координатну пряму читайте тут. Протилежні числа мають протилежні координати і рівновіддалені від точки відліку (з нульовою координатою), тому їх модулі є рівними.

Приклад.

Якщо |х| = 7,3, то х = 7,3 або х = –7,3; (оскільки протилежні числа мають однакові модулі)

якщо |х| = 0, то х = 0

Варто зазначити, що рівність |х| = –7,3 є неправильною при всіх х, адже модуль будь-якого цілого або раціонального числа є додатним числом або дорівнює нулю.

Наприклад, |8,25|= 8,25, |-16,3|= 16,3

Порівняння раціональних чисел

Ми вже розглядали основні правила порівняння натуральних чисел (детальніше тут) і цілих чисел. Як же порівнювати раціональні числа? Для порівняння раціональних чисел варто використовувати наступні принципи:

Будь-яке додатне раціональне число більше від нуля, а будь-яке від’ємне раціональне число менше від нуля; будь-яке від’ємне раціональне число менше від будь-якого додатного раціонального числа.
Із двох додатних раціональних чисел більшим є те число, модуль якого більший.
Із двох від’ємних раціональних чисел меншим є те, модуль якого більший, і більшим є те, модуль якого менший.

Крім того, можна використовувати координатний промінь. На координатній прямій додатні числа зображують правіше від нуля, а від’ємні – лівіше. Відповідно, раціональні числа, які лежать правіше будуть більшими, а числа, що знаходяться лівіше – меншими.

Наприклад, –9,1 < –4,6, оскільки на координатній прямій число –4,6 лежіть правіше числа –9,1).

Порівняємо числа -9,1 і -4,6, обчисливши їх модулі. |–9,1|= 9,1, |-4,6| = 4,6. Отже, –9,1 < –4,6, оскільки з двох від’ємних раціональних чисел меншим є те, модуль якого більший (9,1 > 4,6).

Приклади порівняння раціональних чисел:

5,4 > 0;

1,05 > –2;

–2,45 > –8;

–3,3 < 0;

–8 < –2,5

Приклад. Виберіть число, абсолютна величина якого найбільша: 10,5, –13, 4, –21, 3,7.

Знайдемо модулі кожного числа і виберемо найбільший:

|10,5|= 10,5

|–13|= 13

|4|= 4

|–21|= 21