Натуральні числа, десяткова система числення, порівняння

Що таке натуральне число?

Натуральні числа – це числа, що виникають природним чином при лічбі. Перелічуючи будь-які предмети, ми використовуємо числа у певному порядку – один (позначається символом 1), два (символ – 2), 3 (три), 4 (чотири), 5 (п’ять) і так далі.

Натуральний ряд чисел. Найменше натуральне число і множина чисел

Натуральний ряд (або натуральний ряд чисел) – це множина натуральних чисел, упорядкованих у строго визначеній послідовності. Чи існує найбільше натуральне число? – Ні, найбільшого числа не існує. Адже множина натуральних чисел є нескінченною, завжди знайдеться число, яке більше за інше натуральне – за винятком числа 1. Адже 1 – найменше натуральне число. Якщо порівнювати 2 числа, то меншим вважається число, яке використовується першим при лічбі і яке у натуральному ряді чисел стоїть ближче до 1.

Нумерація чисел

Сукупність правил, які служать для найменування і позначення чисел, заведено називати нумерацією чисел або системою числення. Нумерація буває усною (за допомогою слів, наприклад, один, два, три, десять, шістнадцять, сорок, тисяча, мільйон і т.д.) і письмовою (за допомогою цифр – 1, 2, 5, 8, 150, 2000, 30000 і т.д.).

Наприклад:

563 – п’ятсот шістдесят три

2006 – дві тисячі шість

Десять перших чисел натурального ряду

Десять перших чисел натурального ряду виглядають так: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Чи є 0 натуральним числом?

Одне з найпоширеніших запитань учнів: 0 – це натуральне число чи ні? Відповідаємо, ні, 0 не є натуральним числом.

Проте 0 розглядають не лише як цифру, а й як число. Оскільки воно не є натуральним і є меншим за одиницю (найменше натуральне число), тому нуль є меншим за будь-яке натуральне число. Послідовність чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 заведено називати розширеним натуральним рядом. Усі натуральні числа та нуль називаються разом цілими невід'ємними числами.

Що таке цифри?

Для запису або позначення натуральних чисел використовують цифри (спеціальні знаки). Тобто, цифра – це письмовий знак, що відображає число. Всього є 10 цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Десяткова система числення. Розряди чисел

Саме завдяки цим десятьом цифрам ми можемо записати будь-яке натуральне число. Система числення, яку використовують для запису натуральних чисел, називають десятковою. Числа від одного до дев’яти записуються відповідними цифрами 1 – 9, наступні числа записуються, використовуючи ті ж цифри: 10, 11, 12, 13, 14, 15 і т.д. Одиниці числа пишуть на першому місці справа, а десятки – на другому місці, тобто лівіше від одиниць. Наприклад, число 15 – п’ять одиниць і один десяток, число 10 – в цьому числі нема одиниць, один десяток. Тобто, десять одиниць утворюють один десяток, двадцять одиниць – це рівнозначно двом десяткам, десять десятків – це сотня, а десять сотень – це тисяча.

Важливу роль відіграє місце цифри в записі числа, адже її позиція (розряд) впливає на значення. Це характеризує принцип місцевого значення цифр. Якщо цифру ми переставимо на одне місце вліво, її значення збільшиться в 10 разів, відповідно переміщення цифри на одне місце вправо зменшує її значення в 10 разів. Це і є однією з характеристик десяткової системи числення. Тобто, записуючи числа в десятковій системі, ми використовуємо помісний (позиційний) принцип числення. В записі числа, якщо читати справа наліво, перша, друга, третя, четверта і т.д. цифри числа називаються відповідно цифрами одиниць, десятків, сотень, тисяч і т.д. або одиницями першого, другого, третього, четвертого і т.д. розрядів. Наявність цифри 0 в записі числа говорить про відсутність того чи іншого розряду.

Наприклад, число 5869 – в цьому числі 9 одиниць, 6 десятків, 8 сотень і 5 тисяч або 9 одиниць першого, 6 одиниць другого, 8 одиниць третього, 5 одиниць четвертого розряду.

Нумерація багатоцифрових чисел. Класи чисел

Для зручності в написанні і читанні багатоцифрових чисел їх цифри розбивають на класи по 3 цифри, починаючи справа.

Перші три розряди справа (одиниці, десятки, сотні) утворюють клас одиниць, наступні три розряди (тисячі, десятки тисяч, сотні тисяч) утворюють клас тисяч тощо. Останній клас не завжди містить 3 цифри і може містити одну чи дві цифри.

Наприклад, розглянемо число 874 357

8 7 4 3 5 7

Сотні десятки одиниці сотні десятки одиниці

Клас тисяч Клас одиниць

Як бачимо, в числі 874 357 двічі зустрічається цифра 7. В першому випадку – вона розташована в класі одиниць і характеризує 7 одиниць, в іншому випадку – на місці десятків тисяч і характеризує 7 десятків тисяч. Це ще раз підтверджує важливість позиції цифри в записі числа, що впливає на її значення.

Отже, виділяють такі класи чисел (справа наліво): клас одиниць, клас тисяч, клас мільйонів, клас мільярдів, наступний клас – трильйонів і т.д.:

Одиниця - 1

Тисяча – 1 000

Мільйон – 1 000 000

Мільярд – 1 000 000 000

Трильйон – 1 000 000 000 000

Квадрильйон – 1 000 000 000 000

Квінтильйон – 1 000 000 000 000 000

Секстильйон – 1 000 000 000 000 000 000

Септильйон – 1 000 000 000 000 000 000 000

Приклад:

Наприклад, число 5 643 267 читаємо так: п’ять мільйонів шістсот сорок три тисячі двісті шістдесят сім. 267 – це перший клас одиниць, 643 – клас тисяч і 5 – число мільйонів.

Приклад. Прочитайте число 63948659912

Спочатку розіб’ємо число на класи по 3 цифри справа наліво і відділимо їх проміжками: 63 948 659 912

Тепер зліва направо називаємо число одиниць кожного класу і додаємо його назву. Зверніть увагу, назву класу одиниць не потрібно називати. Отже, число – 63 мільярди 948 мільйонів 659 тисяч 912

Розглянемо зворотній приклад, а саме – запис числа цифрами: число три мільярди десять тисяч вісім.

Пишемо зліва направо: в класі мільярдів – 3, в класі мільйонів – 000, в класі тисяч – 010, в класі одиниць – 008. Отже, число 3 000 010 008. Не забувайте, що в кожному класі повинно бути по 3 цифри, за винятком першого зліва, тому в класі одиниць перед 8 ми прописали два нулі, в класі тисяч – нуль перед 10, а в класі мільйонів – 000

Класифікація чисел в залежності від кількості цифр

В залежності від кількості цифр в числі розрізняють однозначні числа (числа, зображені однією цифрою, наприклад, число 8), двозначні числа (двома цифрами, наприклад, 56), тризначні (трьома цифрами, наприклад, 423) і т.д. Крім того, використовують термін багатозначні числа.

Порівняння натуральних чисел: основні правила

Якщо два натуральні числа мають різне число цифр, то більшим буде число, в якому знаків (цифр) більше. Наприклад, порівняємо натуральні числа 5867 і 999 . Очевидно, що 5876 більше за 999, тому що в нього більша кількість розрядів.

Якщо два натуральні числа мають однакове число знаків, то більшим є число, в якому більше одиниць у найвищому розряді. Порівнюючи числа з однаковою кількістю розрядів, наприклад, 5625 і 3987, робимо висновок, що більшим є число 5625, оскільки тисяч в даному числі більше.

Якщо натуральні числа мають однакове число знаків і число одиниць у вищому розряді однакове, то порівнюються розряди на один степінь нижче тощо. Наприклад, числа 3567 і 3489 – в даних числах однакова кількість розрядів, однакові числа тисяч, проте кількість сотень в першому числі більша, тому число 3567 більше за 3489.

Римські цифри і числа: як пишуться

Десяткову систему числення ще називають арабською, відповідно цифри, які ми використовуємо для написання чисел – арабськими. Це пов’язано з виникненням десяткової системи в Індії і її перенесенням арабами в Європу. Проте досить часто ми маємо справу з римськими числами, ми їх зустрічаємо в назвах розділів і частин законів, на циферблатах годинників, в позначеннях років, століть, дат і т.д. Тому варто запам’ятати їх значення.

I – один (1)

II – два (2)

III – три (3)

IV – чотири (4)

V – п’ять (5)

VI – шість (6)

VII – сім (7)

VIII – вісім (8)

IX – дев’ять (9)

X – десять (10)

L – п’ятдесят (50)

C – сто (100)

D – п’ятсот (500)

M – тисяча (1000)

Як бачимо, деякі числа пишуться шляхом повторення інших. Наприклад, число II (число 2 як повторення двох одиниць), число XX (число 20 як повторення двох десяток).