Урок 6. Вирішення лінійних рівнянь за допомогою графіків

Графік лінійного рівняння з двома змінними

Варто зазначити, що графіком рівняння першого степеня з двома змінними є пряма. Відповідно кожна точка графіка рівняння має такі координати, які задовольняють дане рівняння.

Як побудувати графік рівняння першого степеня? Для цього необхідно знайти 2 розв’язки рівняння, позначити відповідні точки на координатній площині та провести пряму через дані точки. Якщо один з коефіцієнтів а або b рівняння аx + bу = с дорівнює нулю, то графіком такого рівняння буде також пряма.

Розглянемо рівняння 3x + 2y = 6

Для побудови графіка виразимо змінну у через змінну х.

у = – 1,5х + 3

при х = 0, у = 3, при х = 2, у = 0. Зобразимо точки (0; 3) та (2; 0) на координатній площині, проведемо через них пряму і отримаємо графік:

оскільки рівняння 3x + 2y = 6 та у = – 1,5х + 3 є рівносильними, тому дана пряма є графіком рівняння 3x + 2y = 6.

Приклад. Розглянемо рівняння 2x + 0y = 8

Розв’язком такого рівняння є наступні пари чисел: (4; 2), (4; 0), (4; 3) і т.д. Графіком рівняння буде пряма, яка складається з усіх точок, абсциса яких дорівнює 4, а ордината – довільному числу. Графік такої прямої проходить через точку (4; 0) паралельно до осі у.

Можемо зробити висновок, що графіком лінійного рівняння з двома змінними, в якому хоча б один із коефіцієнтів при змінних не дорівнює нулю, є пряма.

Приклад. Побудувати графік рівняння 3x – 4y = 12

В цьому рівнянні жоден з коефіцієнтів не дорівнює нулю, графіком буде пряма. Для побудови графіка знайдемо довільні 2 пари координат (розв’язків рівняння).

При х = 0, у = -3, при х = 2, у = -1,5. Позначимо на координатній площині точки (0; -3) та (2; -1,5) і проведемо через них пряму:

Приклад

Розглянемо рівняння першого степеня, в якого коефіцієнти при змінних дорівнюють нулю. Тобто, 0x + 0y = c. При с = 0, будь-яка пара чисел буде розв’язком, а графіком буде вся координатна площина. При c ≠ 0 рівняння не має розв’язків, відповідно графік не містить жодної точки.

Властивості графіка лінійного рівняння з двома змінними в залежності від значень параметрів a, b, c

• якщо  a, b і c не дорівнюють нулю, то пряма проходить під кутом до координатних осей і перетинає їх у двох точках;
• якщо права частина лінійного рівняння з двома змінними дорівнює нулю, то пряма проходить через початок координат під кутом до координатних осей;
• якщо коефіцієнт при змінній х = 0, а інші не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі  х;
• якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі  у;
• якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю абсцис;
• якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при  х, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю ординат;
• якщо всі коефіцієнти дорівнюють нулю, то графіком будуть усі точки координатної прямої;
• якщо всі коефіцієнти, окрім вільного члена, дорівнюють нулю, то графік не містить жодної точки.