Урок 9. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом підстановки

Метод підстановки в розв'язуванні систем лінійних рівнянь

Одним із найпростіших способів розв’язання системи лінійних рівнянь є використання методу підстановки. Суть цього методу полягає в наступному: якщо з одного рівняння системи будь-яке з невідомих виразити через друге і підставити цей вираз у друге рівняння, то одержимо рівняння з одним невідомим. Таким чином, можна знайти одне невідоме, а підставивши значення невідомого у вираз, можна знайти друге невідоме.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь методом підстановки

З першого рівняння виразимо змінну х через змінну у:

Далі підставимо значення х в друге рівняння, отримаємо рівняння з одним невідомим:

Позбудемось дробової частини, помноживши кожний член рівняння на 3:

4(11 + 2у) – 15у = 9;

44 + 8у – 15у = 9.

–7у = –35;

у = 5.

Тепер підставляємо значення у=5 у вираз х:

х = 7

Відповідь: х = 7, у = 5

Приклад. Розв’язати систему рівнянь методом підстановки

Знайдемо х, використавши перше рівняння:

Підставляємо значення х в друге рівняння, в результаті отримаємо рівняння з одним невідомим:

3(8 – 3у) + 4у = 14;

24 – 9у + 4у = 14.

–5у = –10;

у = 2

Підставляємо значення у = 2 у вираз для х:

х = 1

Відповідь: х = 1, у = 2

Метод порівняння невідомих в розв'язуванні систем лінійних рівнянь 

Крім того, розв’язуючи системі рівнянь можна користуватись способом порівняння невідомих. Суть цього методу полягає у вираженні одного невідомого через друге в кожному з рівнянь і прирівняння отриманих даних з одним невідомим. Розв'язавши це рівняння, можна знайти значення одного невідомого, потім другого. Розглянемо використання даного методу на прикладі.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь методом порівняння

Виразимо змінну х черех у в обидвох рівняннях:

Прирівняємо отримані вирази і отримаємо рівняння з одним невідомим:

7(13 – 6у) = –5(1 + 18у);

91 – 42у = –5 – 90у;

48у = –96;

у = –2.

Підставимо значення у = –2 у вираз для х:

Відповідь: х = 5;  у = –2