Урок 8. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими

Системи рівнянь з двома змінними

Для розв’язання складних задач можуть складати 2 рівняння, кожне з яких містить по дві невідомі величини. Тобто використовують два рівняння з двома невідомими, які утворюють систему рівнянь. Для розв’язання системи рівнянь треба знайти спільне рішень для обидвох рівнянь, тобто знайти такі значення невідомих (наприклад, х та у), які одночасно задовольняють умови першого і другого рівнянь. Або іншими словами, треба розв’язати систему рівнянь. Отже, розв’язком системи рівнянь є кожна пара значень невідомих, яка одночасно задовольняє обидва рівняння системи

Якщо треба знайти спільний розв’язок для 2 і більше рівнянь, то говорять, що дані рівняння утворюють систему рівнянь. Для запису системи рівнянь використовують фігурну душку, записавши рівняння одне під іншим:

Що таке лінійна система рівнянь?

Система рівнянь називається лінійною, якщо усі рівняння, що входять в систему, є лінійними.

Якщо система з n лінійних рівнянь містить n невідомих, то можливі такі варіанти розв’язків:

1. Система не має розв’язків. (В цьому випадку систему рівнянь називають несумісною)
2. Система має один розв’язок
3. Система має нескінченну кількість розв’язків.

Розв'язати систему рівнянь – означає знайти всі розв'язки цієї системи або показати, що вона не має їх.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язком системи рівнянь є єдина пара чисел х = 15,  у = –5

Рівносильні системи рівнянь

Дві системи рівнянь називаються рівносильними (еквівалентними), якщо всі розв'язки однієї з них є розв'язками другої, і навпаки, всі розв'язки другої системи є розв'язками першої. Рівносильними також є дві несумісні системи рівнянь (системи, що не мають розв’язків). Дві рівносильні системи рівнянь можуть складатися як з однакової, так і з різної кількості рівнянь. Більше того, система рівнянь може бути рівносильна до одного рівняння.

Наприклад, для системи рівнянь

розв’язком є пара чисел х = 4,  у = 3

Крім того, дана пара чисел є єдиним розв’язком системи

Отже, можемо зробити висновок, що дані системи рівнянь є рівносильними.

Теореми про рівносильність систем рівнянь першого степеня

Теорема 1

Будь-яке з рівнянь системи можна замінити рівносильним до нього рівнянням; одержана в результаті цього система рівносильна до даної.

Приклад

В системі рівнянь

замінимо друге рівняння рівносильним йому рівнянням 9х + 6у = 57, то отримаємо нову систему рівнянь:

Ця система рівнянь буде рівносильною початковій системі рівнянь.

Теорема 2

Будь-яке з рівнянь системи можна замінити рівнянням, одержаним в результаті алгебраїчного додавання обох рівнянь системи. Нова система буде рівносильною до даної.

Приклад

В системі рівнянь

Перше рівняння замінимо на суму двох рівнянь, тобто на 5х – 2у = 23, отримаємо нову систему, рівносильну даній:

Теорема 3

Можна з одного рівняння системи виразити якесь невідоме через інше і підставити цей вираз у друге рівняння, нове рівняння разом з першим утворює систему, рівносильну до даної.

Приклад

Дано систему рівнянь:

Виразимо невідоме х через у, використавши друге рівняння: х = 2у + 1

А тепер підставимо даний вираз в перше рівняння, отримаємо: 2(2у + 1) + 3у = 33

До отриманого рівняння допишемо друге рівняння, отримаємо нову систему рівнянь, рівносильну даній:

Розв’язання систем рівняння: приклади

Приклад. Вирішити систему рівнянь

Розв’язання:

Оскільки х + y = 3, друге рівняння можемо записати як 2⋅(х + у)=7

Підставимо замість х + у число 3 в друге рівняня, отримаємо:

2 ⋅ 3 ≠ 7

Отже, система не має розв’язків.

Приклад. Знайти розв’язки системи рівнянь

Оскільки друге рівняння виходить з першого шляхом множення на 2, тому фактично маємо одне рівняння. Тому можемо зробити висновок, що дана система рівнянь має нескінченну кількість розв’язків.

Приклад. Яка пара чисел є розв’язком системи рівнянь:

Розв’язком даної системи рівнянь є пара чисел (7; 2). Адже:

7 – 2⋅2 = 3

3⋅7 + 2 = 23

Підставивши значення х = 7 та у = 2 в перше і друге рівняння, отримаємо рівності. Це означає, що пара чисел (7; 2) є розв’язком системи рівнянь.