Урок 13. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Системи трьох лінійних рівнянь з трьома змінними: нормальний вид

Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими мають вигляд:

де a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s –  задані числа;  x, y, z – невідомі. Числа a, b, c, e, f, g, p, q, r називають коефіцієнтами при невідомих; d, h, s – вільними членами.

Нормальний вид рівняння першого степеня з трьома невідомими

Рівняння першого степеня з трьома невідомими можна звести до нормального виду, виконавши певні перетворення. Нормальний вид рівняння першого степеня з трьома невідомими х, у і z передбачає, що в лівій частині рівняння знаходяться тільки три члени: один з невідомим х, інший з у  і третій з z, а в правій частині буде один член, який не містить невідомих.

Загальний вигляд такого рівняння:

ах + by + cz = d,
де  а, b, с і d  будь-які числа

Приклад нормального виду рівняння першого степеня з трьома невідомими:

17х + 4у – 9z = 48

Невизначеність двох і одного рівняння з трьома невідомими

Розглянемо конкретний приклад, в якому дана система з 2 рівнянь з 3 невідомими:

Призначимо одному з невідомих довільне число. Нехай z = 1, підставивши це значення, отримаємо систему рівнянь:

Розв’язавши систему рівнянь з 2 невідомими, знайдемо їх значення.

х = 2, у = 3;

Отже, при z = 1, х = 2, у = 3;

Тепер призначимо змінному z інше значення, наприклад, z = 0. Підставимо в систему рівнянь і отримаємо:

Розв’язавши систему рівнянь з двома невідомими, знайдемо значення х та у:

х = 20/11 = 19/11;  у = 24/11

Отже, х = 19/11.  у = 24/11,  z = 0

Ми можемо і дальше призначати одному з невідомих (в даному випадку z) нові значення та отримати систему рівнянь з двома невідомими. Після розв’язання системи рівнянь знайдемо значення двох невідомих. Це означає, що можна призначити будь-яку кількість значень z і знайти будь-яку кількість значень х та у, що відповідають відповідним значенням z. Тобто 2 рівняння з 3 невідомими можуть мати нескінченну кількість розв’язків, а систему таких рівнянь заведено називати невизначеною.

Якщо є одне рівняння з трьома невідомими, то існує ще більша невизначеність. В такому випадку можна призначити певні значення для двох невідомих і знайти значення третього невідомого.

Щоб знайти значення трьох невідомих x, y, z система повинна складатись з 3 рівнянь. Розв’язати таку систему можна шляхом підстановки, додавання або віднімання рівнянь. Розглянемо детальніше кожен з методів.

Спосіб підстановки при розв’язуванні системи рівнянь з трьома невідомими

Приклад. Розв’яжіть систему з 3 рівнянь з 3 невідомими

З будь-якого рівняння виразимо змінну х через змінні y та z. Наприклад, використавши перше рівняння, запишемо х таким чином:

Тепер підставимо вираз х в друге і третє рівняння, отримаємо систему з двох рівнянь з двома невідомими y та z:

На попередніх уроках ми розв’язували систему з двох рівнянь з двома невідомими (помножимо перше рівняння на 3, а друге на -6):

49 + 14у – 35z + 12y – 24z = 9

35 + 10у – 25z – 9y – 12z = -36

Запишемо систему рівнянь, в якій змінні в лівій частині:

26у – 59z = -40

y – 37z = -71

Отже, у = -71 + 37z

26 (-71 + 37z) – 59z = -40

-1846 + 962z – 59z = -40

903 z = 1886

z = 2

y = -71 + 37⋅2 =3

Підставимо значення y та z у вираз з х, отримаємо:

Отже, розв’язки системи рівнянь:

х = 1, у = 3, z = 2

Спосіб додавання або віднімання при розв’язуванні системи рівнянь з трьома невідомими

Даний спосіб полягає в наступному: беремо будь-які два рівняння системи (перше і друге, перше і третє або друге і третє) і зрівнюємо коефіцієнти при одній із змінних, наприклад, перед z. Додаванням або відніманням даних рівнянь виключимо невідоме (напр., z), отримавши рівняння з двома невідомими х та у. Після цього беремо другу пару рівнянь і таким же чином виключимо з них те ж невідоме, тобто z.

Для системи рівнянь

Застоуємо вищеописаний метод розв’язання:

Розв’язавши два рівняння, знайдемо значення х та у:

59х + 4у = 71

37х – 23у = -32

З першого рівняння виразимо у через х:

у = (71 – 59х) : 4

Підставимо у в друге рівняння:

37 х – 23 ⋅ (71 – 59х):4 = -32 |4

148x – 1633 + 1357 x = -128

1505x = 1505

x = 1

y = (71 – 59⋅1) : 4 = 3

Підставимо значення х та у в одне з рівнянь і знайдемо z:

3 × 1 – 2 × 3 + 5z = 7;
5z = 7 – 3 + 6 = 10;  
z = 2.

Аналогічно можна привести систему з 4 рівнянь з 4 невідомими до системи з 3 рівнянь і розв’язати її. Таким чином, систему з n рівнянь з n невідомими ми можемо привести до системи  n – 1  рівнянь з n – 1  невідомими (а цю систему до системи n – 2  рівнянь з  n – 2  невідомими і т. д.).

Особливі випадки систем рівнянь

Системи рівнянь не завжди є стандартними, тому варто розглянути окремі «особливі» випадки.

1. Коли не усі невідомі входять в кожне з рівнянь системи

Як бачимо, не в кожному рівнянні системи з 4 рівнянь є всі 4 невідомі. Якщо деякі рівняння містять не всі невідомі, то систему розв’язати простіше. В даному прикладі можемо виключити z з першого і третього рівнянь, невідоме v виключаємо з другого та першого рівняння, отримаємо 2  рівняння з невідомими х і у:

Таким чином, розв’язавши систему з 2 рівнянь, знайдемо х = 0,   y = 1/3.

Підставивши ці числа в друге та третє рівняння, отримаємо v = 3/2 ,   z = 16/9 = 17/9

2. Коли корисно усі рівняння додати

Приклад

Додавши всі рівняння системи, отримаємо:

Віднявши з останнього рівняння кожне з даних, отримаємо: