Урок 10. Розв’язання систем рівнянь способом алгебраїчного додавання

Спосіб додавання системи лінійних рівнянь

Один із способів розв’язання системи рівнянь – алгебраїчне додавання або віднімання рівнянь. Якщо коефіцієнти при якомусь невідомому в обох рівняннях однакові за абсолютною величиною, то додаючи обидва рівняння (або віднімаючи одне від одного), можна одержати рівняння з одним невідомим. Розв’язавши отримане рівняння, знайдемо одне невідоме. Підставивши значення одного невідомого в будь-яке з рівнянь, знайдемо друге невідоме.

Отже, будь-яке із рівнянь системи можна замінити рівнянням, отриманим в результаті алгебраїчної додавання обох рівнянь системи. Нова система рівносильна даній.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь способом додавання

В даній системі рівнянь коефіцієнти при у є рівними за абсолютним значенням (дорівнюють одиниці) і протилежними за знаком. Тому можемо виконати додавання рівнянь, отримаємо рівняння з одним невідомим:

Тепер підставимо значення х = 4 в будь-яке рівняння, наприклад, в перше:

2 × 4 + у = 11;

у = 11 – 8;

у = 3

Таким чином, розв’язком системи рівнянь є пара чисел: х = 4; у = 3

Відповідь: х = 4;  у = 3

Що робити, якщо коефіцієнти при невідомих є різними за абсолютною величиною? В цьому випадку прирівнюють абсолютні величини коефіцієнтів при одному з невідомих, шляхом множення (ділення) всіх членів рівняння на певні коефіцієнти. Після цього виконують алгебраїчне додавання або віднімання рівнянь.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь способом додавання

Щоб розв’язати систему рівнянь, спершу прирівняємо коефіцієнти при х. Для цього помножимо перше рівняння на 3, а друге на -2. Після цього виконаємо додавання отриманих рівнянь.

4х + 3 × (–2) = –4;

4х = 2;

х =  1/2

Відповідь: х = 1/2;  у = -2

Онлайн калькулятори для розв'язання систем рівнянь