Урок 14. Повне квадратне рівняння загального вигляду

Квадратне рівняння: загальний вигляд, формула, корені

Квадратним рівнянням (рівнянням другого степеня з однією змінною) називається рівняння виду :

де х – змінна, а, b, с – відомі числа, крім того а ≠ 0. Коефіцієнт  називають старшим членом, bх – членом, якій містить перший степінь невідомого, с – вільним членом.

Якщо b ≠ 0, c ≠ 0, то таке квадратне рівняння називають повним квадратним рівнянням.

Для того щоб знайти розв’язок квадратного рівняння, використовують формулу:

Виходячи з вищеописаної формули, можемо дати наступне визначення кореню повного квадратного рівняння:

Корінь повного квадратного рівняння загального вигляду дорівнює дробові, чисельником якого є коефіцієнт при невідомому в першому степені, взятий з протилежним знаком, плюс – мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без добутку числа чотири на коефіцієнт при невідомому в другому степені на вільний член, а знаменник є подвоєний коефіцієнт при невідомому в другому степені.

Дискримінант квадратного рівняння

Варто виокремити вираз , що знаходиться під радикалом, і називається дискримінантом квадратного рівняння загального вигляду. Його заведено позначати буквою D, тому формулу коренів можна записати так:

Можна зробити важливий висновок: кількість коренів квадратного рівняння залежить від значення дискримінанта:

• якщо D < 0, то дане рівняння не має коренів, оскількине існує такого значення х, при якому значення виразу підкореневого виразу було б від’ємним;
• якщо D = 0, то  2ах + b = 0, це означає, що існує єдиний корінь:

• якщо D > 0, то дане квадратне рівняння рівносильне такому рівнянню:

тобто

або

Тобто, дане рівняння має два корені, які відрізняються тільки знаками перед √͞͞͞͞͞D:

Для кращого розуміння і засвоєння матеріалу розглянемо конкретні приклади.

Розв'язування квадратних рівнянь та рівнянь, що зводяться до квадратних: приклади

Приклад. Розв’язати повне квадратне рівняння загального вигляду

В даному рівнянні а = 3, b = 11, с = 6

Запишемо формулу для знаходження кореня квадратного рівняння:

Або можна так записати розв’язок:

Приклад. Розв’яжіть рівняння

Спочатку зведемо рівняння до стандартного вигляду, попередньо помноживши кожний член на 24:

В останньому рядку ми отримали повне квадратне рівняння загального вигляду, з коефіцієнтами: а = 5, b = -18, с = -35

Знайдемо корені рівняння за формулою:

Отже, х1 = 5;    х2 =  –1,4.

Приклад. Вкажіть, скільки дійсних коренів має рівняння, не розв’язуючи його

Щоб визначити кількість коренів, обчислимо дискримінанту квадратного рівняння:

Оскільки D<0, то рівняння не має коренів.

Інший вигляд формули коренів квадратного рівняння 

Для розв’язання квадратних рівнянь можна використовувати дещо відредаговану формулу, яку виводять з основної:

Для цього чисельник і знаменник дробу ділять на 2 і вносять множник ½ під знак кореня, отримаємо:

Оскільки

Тобто:

Звідси корені квадратного рівняння можна записати такою формулою:

Цю формулу можна використовувати для розв’язання будь-якого квадратного рівняння, дискримінант якого невід’ємний і зручніше застосовувати при умові, що коефіцієнт b є парним числом.

Приклад. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання: