Урок 31. Рівняння з модулями

Як розв’язувати рівняння з модулем?

Щоб вирішити рівняння, що містить змінну під знаком модуля, треба звільнитися від знака модуля, використовуючи його визначення:

Читайте також: Урок 2. Модуль або абсолютна величина числа. Властивості і приклади

Покроковий алгоритм розв’язання рівняння з модулем:

1. Знаходимо критичні точки, тобто значення змінної, при яких вирази, що стоять під знаком модуля, перетворюються в нуль
2. Розбиваємо область допустимих значень змінної на проміжки, на кожному з яких вирази, що стоять під знаком модуля, зберігають знак;
3. На кожному зі знайдених проміжків вирішують рівняння без знака модуля.

Коренями рівняння буде об’єднання коренів зазначених проміжків.

Приклади розв’язання рівнянь з модулем

Приклад. Розв’яжіть рівняння

|х  + 3| = 2х – 1.

Розв’язання:

Знайдемо критичну точку (вираз під модулем дорівнює нулю):

х + 3 = 0,  х = –3

Аналізуємо проміжки:

При х < –3  отримуємо рівняння –х – 3 = 2х – 1

х = –2/3

Але таке значення х = –2/3 не входить в даний проміжок х < –3  

При х ≥ 3 отримуємо рівняння

х + 3 = 2х – 1

х = 4, даний корінь підходить, оскільки він входить в проміжок х ≥ 3  

Відповідь: 4

Приклад. Розв’яжіть рівняння

|х  + 5| – |х  – 3| = 8

Розв’язання:

Знаходимо критичні точки:

х + 5 = 0  або  х – 3 = 0,

х = –5  або  х = 3.

Розглядаємо кожен проміжок:

При х < –5 рівняння має вигляд: –х – 5 – (–х + 3) = 8,  –х – 5 + х – 3 = 8, –8 = 8, що є неможливим. Тому на цьому проміжку рівняння не має розв’язків.

При –5 ≤ х < 3 отримаємо рівняння: х + 5 –(–х + 3) = 8,  х + 5 + х – 3 = 8, 2х = 6, х = 3 – даний корінь не входить в досліджуваний проміжок

При х ≥ 3, рівняння має вигляд х + 5 – (х – 3) = 8, х + 5 – х + 3 = 8, 8 = 8  Це означає, що рівняння виконується при усіх значеннях х, що належать даному проміжку [3; +∞).

Таким чином, ми отримали корені рівняння 3 і [3; +∞). Об’єднавши дані результати, можемо сказати, що коренями рівняння є проміжок: [3; +∞)

Відповідь: [3; +∞)