Урок 25. Системи рівнянь з параметрами

Приклади розв'язання систем рівнянь з параметрами

Приклад

Дано систему рівнянь:

Знайдіть усі значення параметра а, при яких система має рівно чотири розв’язки.

Розв’язання:

Скористаємось графічним способом розв’язання такої системи рівнянь. Очевидно, що графіком другого рівняння є квадрат з вершинами в точках (2; 0), (–2; 0), (0; 2), (0; –2). Адже для  х ≥ 0, у ≥ 0  маємо: х + у = 2, а для інших сторін можна застосувати симетрію.

Графіком першого рівняння є коло, центр якого знаходиться на початку координат, і радіусом |а|. Зобразимо графіки цих двох рівнянь на координатній площині:

Відповідно розмір кола залежить від радіуса |а|. Система має рівно чотири корені (коло перетинається з квадратом в 4 точках) в двох випадках:

1. Якщо коло вписано в квадрат
2. Якщо коло описане навколо квадрата

Якщо коло вписано в квадрат, то значення а дорівнює:

Якщо коло описане навколо квадрата, то значення а дорівнює |а| = 2

Відповідь: –2,  –√͞2;  √͞2,  2

Приклад

Дано систему рівнянь:

Встановіть, при яких значеннях параметра m система рівнянь не має розв’язків.

Розв’язання:

Поділимо почленно перше рівняння системи на друге. Система не матиме розв’язків, якщо виконується співвідношення:

Або

m + 1 ≠ 1,  m ≠ 0 (адже при m = 0, рівність виконується)

(m + 1)(m – 2) = –2

З останнього рівняння виключаємо значення m = 0, тому система рівнянь не має розв’язків при m = 1

Відповідь: m = 1

Приклад

Дано систему рівнянь:

Встановіть, при яких значеннях параметра а система рівнянь має нескінченно багато розв’язків?

Розв’язання:

Виразимо х через у, використавши перше рівняння системи:

Тепер підставимо вираз з х в друге рівняння:

Помножимо праву і ліву частини рівняння на 2 і зведемо подібні доданки:

(а + 1)(а + 2 – ау) + 4ау = 4а + 8,

4ау – а(а + 1)у = 4(а + 2) – (а + 1) (а + 2),

уа – (4 – а – 1) = (а + 2) (4 – а – 1),

у∙ а (3 – а) = (а + 2) (3 – а)

Очевидно, що при а = 3, останнє рівняння перетворюється в 0

0∙ у = 0, тобто рівність виконується при будь-яких значеннях у.

Відповідь: а = 3

Калькулятори для розв'язування систем рівнянь