Урок 21. Дробово-раціональні рівняння

Що таке дробові раціональні рівняння?

Рівняння називається раціональним, якщо його ліва і права частини – раціональні вирази. Раціональне рівняння називають дробовим, якщо його права або ліва частина – вирази дробові.

Наведемо приклади таких рівнянь:

Як розв’язати рівняння з дробами? Приклади

Щоб розв’язати рівняння з дробами, потрібно замінити такі рівняння на рівносильні, в яких ліва частина – дріб, а права – нуль. Для кращого розуміння, розв’яжемо рівняння такого типу.

Приклад

Після зведення дробів до спільного знаменника отримали рівняння рівносильне даному. Очевидно, що дріб дорівнює нулю при умові: чисельник дробу дорівнює нулю і знаменник не дорівнює нулю.

Спочатку прирівняємо чисельник дробу до нуля:

8х – 4 = 0

8х = 4

х = 0,5

Перевіримо, чи при х = 0,5 знаменник дробу не дорівнює нулю: 0,5⋅0,5 – 4 ≠ 0

Отже, х = 0,5 є коренем рівняння.

Приклад. Розв’яжіть рівняння з дробами

Розв’язання:

Перенесемо дроби в ліву частину, а в правій запишемо 0. Далі зведемо дроби до спільного знаменника:

Прирівнявши чисельник дробу до нуля і виключивши значення, при яких знаменник дорівнює нулю, знайдемо корені рівняння.

х = 0 або х = 2, тоді чисельник дорівнює нулю.

При х = 0 знаменник не дорівнює нулю, при х = 2, знаменник дробу перетворюється в нуль (2⋅(2-2) = 0), тому єдиним коренем рівняння є  х = 0

Відповідь: х = 0