Урок 16. Теорема Вієта: формула, приклади

Теорема Вієта або залежність між коефіцієнтами і коренями квадратного рівняння

Нагадаємо, зведене квадратне рівняння має такий вигляд:

Між коефіцієнтами (p, q) і коренями цього рівняння (х1, х2) існують певні залежності.

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток – вільному члену.

Ці залежності називають формулою Вієта.

Якщо дискримінанта зведеного квадратного рівняння рівна нулю , то таке рівняння має один корінь:

Часто говорять, що таке рівняння має два одинакові корені. В цьому випадку теорема Вієта також справджується:

Кожне квадратне рівняння виду 

(а ≠ 0) рівносильне зведеному квадратному рівнянню

Тому для нього також справджується теорема Вієта:

Приклад

Дано рівняння з коренями 8 і -10. Перевірити застосування теореми Вієта.

В даному рівнянні коефіцієнт p = 2, q = -80

Дійсно, сума коренів дорівнює –p, а добуток коренів дорівнює коефіцієнту q

Приклад

Дано рівняння з коренями -2 і -7. Застосуйте теорему Вієта.

Приклад

Розв’яжіть рівняння і знайдіть цілі корені, застосовуючи теорему Вієта

Розв’язання:

Якщо коренями рівняння є цілі числа, то згідно теореми Вієта, їх добуток дорівнює 11, а сума -12. Якщо добуток дорівнює 11, то коренями є числа 11 і 1 або -11 і -1. Враховуючи, що сума чисел рівна -12, то очевидно, що коренями рівняння є пара чисел -11 та -1.

Відповідь: х(1) = -11, х(2) = -1

Теорема, обернена до теореми Вієта

Якщо сума і добуток чисел m і n дорівнюють відповідно  –p  і  q, то  m  і  n –  корені рівняння

Застосовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, і знаючи корені рівняння, можна легко складати зведене квадратне рівняння.

Приклад

Скласти квадратне рівняння, що має корені  5  і  –6.

Розв’язання:

Використовуючи теорему Вієта, знайдемо коефіцієнти p і q

Тому p = 1, q = –30

Звідси квадратне рівняння має вигляд:

Розглянемо залежність між коефіцієнтами та коренями рівняння виду:

Очевидно, що:

Наприклад, рівняння  має корені

Приклад. Скласти квадратне рівняння, корені якого були б оберненими до коренів рівняння:

Розв’язання:

Перепишемо дане рівняння таким чином:

Згідно теореми Вієта між коренями рівняння х1, х2 та коефіцієнтами існує така залежність:

За умовою завдання коренями нового рівняння є числа, що обернені до коренів існуючого рівняння, тобто:

Знайдемо коефіцієнти нового рівняння, виконавши обчислення:

Нове рівняння матиме такий вигляд: