Урок 30. Ірраціональні рівняння

Що таке ірраціональне рівняння?

Ірраціональним називається кожне рівняння, ліва і права частини якого є алгебраїчними виразами, причому хоча б один з них ірраціональний.

Приклади ірраціональних рівнянь:

Розв’язання ірраціональних рівнянь

Перед розв’язанням ірраціонального рівняння в першу чергу треба визначити область допустимих значень. Після цього варто позбутись радикала, піднісши відповідний вираз до відповідного степеня. Після обчислення коренів варто перевірити їх методом підстановки в дане рівняння та відкинути ті корені, що не задовольняють його.

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання:

Область допустимих значень першого радикала: х ≥ 3, для другого х ≤ 2. Це означає, що в множині дійсних чисел рівняння не має розв’язків, оскільки не існує числа, яке одночасно буде більшим за 3 і меншим за 2.

Відповідь: рівняння не має коренів

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання:

Оскільки рівняння складається з трьох множників, кожен з яких може дорівнювати нулю, то запишемо систему рівнянь:

ОДЗ: х ≥ 7

Коренями рівнянь є 5; -2; 7. Проте корені 5 і -2 не входять в область допустимих значень.

Відповідь: 7

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання:

Відповідь: 3

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання:

Виконавши перевірку, робимо висновок, що коренем рівняння є лише х = 4

Відповідь: х = 4

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання:

Область допустимих значень:

Це означає, що ОДЗ: х ≤ –2 і х ≥ 2

Введемо заміну:

В результаті отримали квадратне рівняння:

Корені такого рівняння: 4; -3. Корінь -3 відкидаємо, бо у ˃ 0

Тепер можемо знайти х:

Дані значення х відповідають ОДЗ і задовольняють рівняння

Відповідь: 2√͞͞͞͞͞5, -2√͞͞͞͞͞5

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання:

Для розв’язання такого рівняння скористаємось методом множення обох частин рівняння на вираз, спряжений до виразу у лівій частині.

Визначимо область допустимих значень:

х + 4 ≥ 0,  х ≥ –4, 

20 + х ≥ 0,  х ≥ –20

Тому ОДЗ: х ≥ –4

Введемо заміну:

І помножимо праву і ліву частину рівняння на таку заміну:

(х + 4) – (20 + х) = 8у

8у = -16

у = -2

Щоб розв’язати таку систему рівнянь, додаємо два рівняння і отримаємо:

х + 4 = 9, 

х = 5

Перевіряємо, х = 5 належить до області допустимих значень і задовольняє рівняння.

Відповідь: х = 5

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання:

Перепишемо рівняння так:

Піднесемо праву і ліву частини рівняння до третього степеня:

Позначимо:

Отримали квадратне рівняння:

З коренями 3 і -4

Отже

х – 3 = 27,  х = 30, або

х – 3 = –64,  х = –61

Відповідь: 30, -61