Урок 19. Квадратний тричлен: формула розкладання на множники, приклади

Що таке квадратний тричлен?

Квадратний тричлен – це многочлен другого степеня з однією змінною.

Як розкласти квадратний тричлен на множники: формула, приклади

Розглянемо приклад розкладання квадратного тричлена на множники

Нехай дано квадратний тричлен зі змінною х, числовими коефіцієнтами а, b і с, причому а ≠ 0 та коренями х1 та х2.

Даний тричлен можна подати в такому вигляді: формула розкладання квадратного тричлена на множники

Ми можемо довести вищенаведену тотожність, виконавши певні перетворення в правій частині.

Оскільки корені х1 та х2 є коренями рівняння , то застосуємо теорему Вієта:

Підставимо дані з теореми Вієта в перетворену праву частину рівняння:

Отже, тотожність доведено. Тепер розглянемо приклади розкладання квадратних тричленів на множники.

Приклад

Дано тричлен

Оскільки дискримінант квадратного рівняння  є додатнім (D = 25 + 4⋅2⋅3 = 49), то корені цього тричлена дорівнюють: -1/2 і 3.

Використовуючи тотожність, запишемо тричлен у вигляді добутку:

Для зручності можемо внести число 2 в дужки, отримаємо таку тотожність:

Чи поширюється тотожність на квадратний тричлен, який має один корінь? Так, тотожність виконується в цьому випадку. Адже можемо використати рівність коренів х1=х2:

Приклад

Дано тричлен

Оскільки квадратне рівняння має один корінь х = 1/5 (адже дискримінанта рівна 0), то розкладемо на множники тричлен:

Якщо квадратний тричлен не має коренів

В цьому випадку квадратний тричлен неможливо розкласти на множники. Адже, якщо D<0

В цьому разі  є коренями тричлена, що суперечить умові.

Приклад. Скоротіть дріб

Оскільки в знаменнику дробу записано квадратний тричлен, розкладемо його на множники.

Оскільки дискримінанта рівняння є додатною і рівною 289, квадратний тричлен має 2 корені. Обчислимо корені рівняння, використавши формулу коренів квадратного рівняння:

Запишемо тотожність розкладання квадратного тричлена на множники:

Далі можемо скоротити дріб, записавши знаменник дробу у вигляді отриманих множників: