Урок 27. Розв'язання рівнянь способом заміни. Біквадратні рівняння

Метод введення нової змінної

Деякі рівняння простіше розв’язати, ввівши нову змінну. Суть цього методу полягає в наступному: деякий многочлен зі змінною заміняють новою змінною, таким чином, рівняння стає простішим і має меншу степінь за початкове рівняння.

Приклад. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання:

Область допустимих значень: х ≠ 0, оскільки знаменник дробу не може дорівнювати нулю.

Нехай

Тоді другий член рівняння буде:

Отримаємо рівняння:

Помножимо кожний член рівняння на 2:

Тепер підставимо значення t в введену нами заміну:

Оскільки дискримінант такого рівняння від’ємний, це означає, що рівняння не має коренів.

Підставимо в заміну друге значення t:

Відповідь: х = -1

Приклад. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання:

Введемо таку заміну:

Тому початкове рівняння можемо записати так:

Коренями даного рівняння є 1 та 4.

Отже,

Біквадратне рівняння: приклади

Рівняння четвертого степеня, до якого входять тільки парні степені невідомого, називається біквадратним.

Загальний вигляд біквадратного рівняння:

Якщо ввести заміну , то отримаємо квадратне рівняння:

Формула розв’язків біквадратного рівняння:

Таким чином, біквадратне рівняння має такі чотири корені:

Симетричні рівняння

Рівняння, у яких коефіцієнти членів, однаково віддалених від початку і кінця, рівні, називаються симетричними або зворотними.

Приклад симетричного рівняння:

Основна властивість симетричного рівняння звучить так:

Очевидно, що жоден з коренів симетричного рівняння не може дорівнювати нулю.

Приклад. Розв’яжіть рівняння

Поділимо кожен член рівняння на х в квадраті, при умові, що х не дорівнює нулю, отримаємо:

Введемо таку заміну:

х – 1/х = t

тоді:

Повернемось до заміни і знайдемо значення х:

Відповідь: 1; -1; -2; 0,5