Урок: Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня

Задачі на складання систем рівнянь другого степеня

Задача. 1

Дано прямокутник, периметр якого складає 80 см. Якщо основу прямокутника збільшити на 8 см, а висоту – на 2 см, то площа прямокутника збільшиться у 1,5 раза. Знайдіть сторони фігури.

Розв’язання:

Позначимо сторони прямокутника таким чином: х см (основа), у см (висота). Оскільки пермиметр – це сума всіх сторінк прямокутника, дорівнює 80 см, то можемо записати наступну рівність:

2 ⋅ (х + у) = 80

2х + 2у = 80

Площа прямокутника, тобто добуток основи на висоту, дорівнює:

х⋅у квадратних сантиметрів

Площа прямокутника після збільшення основи і висоти фігури за умовою задачі дорівнює 1,5 площі:

(х + 8)(у + 2) = 1,5 ху

Таким чином, ми отримали систему рівнянь:

Розв’язавши систему, знаходимо її корені:

Відповідь: сторони прямокутника 28 см і 12 см або 24 см і 16 см.

Задача 2

Від пристані А до В о 9:00 год відчалив пліт, а о 18:00 відплив катер зі швидкістю 18 км/год. Катер наздогнав пліт на відстані 20 км від пристані А. Визначіть, о котрій годині човен наздогнав пліт.

Розв’язання:

Позначимо швидкість течії х км/год; час, за який човен наздогнав пліт – t год. Використовуючи умову задачі, напишемо наступну систему рівнянь:

х⋅(9 + t) = 20, 

(х + 18)⋅t = 20

Можемо прирівняти ліві частини обидвох рівнянь:

х(9 + t) = (х + 18)t,

хt + 9х = хt + 18t, 

х = 2t

Підставимо значення х в рівняння:

х(9 + t) = 20,

2t (9 + t) = 20,

t2 + 9t – 10 = 0.

t =1,  t = –10

Таким чином, човен наздожене пліт через 1 годину, і це відбудеться о 19 годині (18 + 1 = 19).

Онлайн калькулятори для розв'язання систем рівнянь