Пряма пропорційна залежність
На одному з уроків математики ми говорили про пряму пропорційність між величинами (див. Урок 3. Пряма пропорційна залежність: властивість, задачі). Сьогодні ми розкажемо про прямо пропорційну функцію.
Пряма пропорційна залежність – це функція, яку можна задати формулою:
де х – незалежна змінна, k – число, що не дорівнює нулю k ≠ 0
Пряма пропорційність – це лінійна функція, при якій b = 0 (нагадаємо, формула лінійної функції має вигляд у = kx + b).
Основні властивості прямо пропорційної залежності: функція визначена на всій множині дійсних чисел, непарна, неперіодична, необмежена. Функція є зростаючою при k > 0 і спадною при k < 0
Число k заведено називати кутовим коефіцієнтом прямої (графіка функції), обчислюється коефіцієнт k за формулою:
Приклад
Довжина кола l = π⋅r = 3.14⋅r, де r – радіус кола.
Залежність довжини кола від радіуса є прикладом прямо пропорційної залежності
Графік прямої пропорційності
Оскільки пряма пропорційність є лінійною функцією у = kх + b при b = 0, то це означає, що графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через початок координат (оскільки при х = 0, у = 0).
Тому для побудови графіку прямої пропорційності достатньо відмітити на координатній площині одну точку і провести пряму через дану точку і початок координат.
Наприклад, побудувати графік функції у = 0,5х
Функція є прямою пропорційністю, тому достатньо знайти координати однієї точки: х = 2, у = 0,5 ⋅2 = 1. Позначаємо точку з координатами (2; 1) і проводимо пряму через точку (2;1) і (0; 0).
Розташування графіка прямої пропорційності залежить від коефіцієнта k.
Якщо х = 1, то у = k і графік проходить через точку (1; k). При k > 0 ця точка розташована в першій координатній чверті, а при k < 0 – в четвертій. Це означає, що при k > 0 графік прямої пропорціональності розташований в першій і третій координатних чвертях (наприклад, графік y = 0,5x):
при k < 0 – графік розташований в другій і четвертій чвертях координатної площини (наприклад, у = –1,5х):
В залежності від значення коефіцієнта k графіки прямої пропорційності можуть мати вигляд:
Приклад
Який з графіків відповідає функції у = 0,4х
Оскільки k = 0.4, k > 0, це означає, що графік функції розташований в 1 і 3 чвертях, функція є зростаючою і має проходити через початок координат. Отже, графік на рис. в відповідає функції у = 0,4х
Інші уроки з теми:
Урок 12. Найбільше і найменше значення функції. Як знайти точки екстремуму
Урок 13. Симетричні функції: приклади
Урок 14. Парна, непарна функції. Дослідження на парність, непарність
Урок 15. Обернені функції та відношення: приклади
Урок 16. Лінійна функція, її графік та властивості. Приклади
Урок 18. Обернено пропорційна залежність. Графік оберненої пропорційності
Урок 19. Квадратична функція, її графік та властивості
Урок 20. Функція у = √͞͞͞͞͞х, її графік та властивості
Урок 21. Графіки та властивості степеневих функцій
Урок 22. Метод геометричних перетворень для побудови графіків функцій