Урок 14. Парна, непарна функції. Дослідження на парність, непарність

Що таке парна функція?

Функція називається парною, якщо будь-яким протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції.

Іншими словами, функції є парними, якщо виконується рівність:  f(–x) = f(x)

Наприклад,

Графік парної функції є симетричним відносно осі Ох (ординат).

Що таке непарна функція?

Функція називається непарною, якщо будь-яким протилежним значенням аргументу відповідають протилежні значення функції.

Для непарних функцій виконується наступна рівність: f(–x) = – f(x)

Відповідно графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.

Приклад непарної функції:

Ні парна, ні непарна функція

Варто зазначити, що не всі функції діляться на парні чи непарні. Розрізняють функції загального виду, які не відносяться ні до парних, ні до непарних.

Приклад функцій загального вигляду

Як дослідити функцію на парність, непарність?

В першу чергу варто встановити область визначення функції – якщо функція записана за допомогою дробу, то виключаємо значення аргументу, при яких знаменник перетворюється в дріб; якщо функція записана за допомогою кореня, то шукаємо значення аргументу, при яких підкореневий вираз більший або дорівнює нулю.

Визначивши область визначення функції, досліджуємо, чи є вона симетричною відносно осі ординат або відносно початку координат.

Після цього перевіряємо, чи виконується рівність, f(–x) = f(x), якщо функція парна, або f(–x) = – f(x), якщо функція непарна.

Ці прості правила допоможуть визначити, чи є функція парною або непарною.

Дослідити на парність, непарність функцію: приклади

Приклад 1. Дослідження функції на парність

Розв’язання:

Оскільки функція не може існувати, якщо знаменник дробу дорівнюватиме нулю. Тому виключаємо значення х, при яких знаменник перетворюється в нуль:

D (f) = (–∞; –1) ∪ (–1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞)

Виходячи з області визначень функції, робимо висновок, що функція є симетричною відносно нуля. А це означає, що функція є парною, оскільки виконується рівність:

Отже, функція f(x) є парною.

Приклад 2. Дослідіть на парність і непарність функцію

Розв’язання:

Отже, функція є симетричною відносно нуля

Отже, функція не є ні парно, ні непарною.

Приклад. Дано f(8) = –20. Знайдіть f(–8), якщо функція f парна

Розв’язання:

Якщо функція парна, то :  f(–x) = f(x)

Тому f(–8) = -20