Урок 3. Пряма пропорційна залежність: властивість, задачі

Пропорційні змінні. Пряма пропорційна залежність

Змінна y вважається пропорційною змінній х, якщо для будь-якої пари відповідних значень змінних х і у відношення у/х дорівнює одному й тому ж числу. Тобто, для пропорційних змінних характерним є стале відношення двох змінних величин.

Для того щоб визначити, чи існує пряма пропорційність між величинами, треба порівняти їх відношення для декількох значень. Розглянемо задачу.

Задача. Двадцяти кілограмовий ящик мандарин коштує 1600 грн. Визначити вартість мандарин для популярних значень ваги.

Розв’язання:

Складемо таблицю, в першому рядку якої стоятимуть значення ваги мандарин, а в другому – вартість.

Бачимо, що зі збільшенням ваги зростає її вартість, або навпаки (дивлячись знизу догори) – при зменшенні ваги, зменшується і вартість. Більше того, можна говорити про пряму пропорційність між величинами, адже відношення вартості до ваги є сталою величиною (80 : 1 = 160 : 2 і т.д.). При збільшенні ваги в 10 раз, вартість мандарин також зросла в 10 раз.

Отже, прямо пропорційні величини – це величини, при збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька раз, друга величина також збільшується (зменшується) у стільки ж раз. Говорять, що між такими величинами існує прямо пропорційна залежність.

Задача. Дана залежність між пройденим шляхом (х) та часом (у). Визначити, чи є залежність між величинами прямо пропорційною.

Розв’язання:

Щоб визначити залежність між величинами, обчислимо їх співвідношення y/x

Оскільки відношення y/x не є сталим, можна зробити висновок, що залежність не є прямо пропорційною, проте близькою до такої.

Як знайти коефіцієнт пропорційності

Коефіцієнт пропорційності або константа пропорційності (k) – це величина, яка є сталою і характеризує відношення двох змінних (y і x).

Виходячи з формули коефіцієнта пропорційності, можемо виразити змінну y таким чином:

y = k ⋅ x

x = y / k

Властивість прямо пропорційних величин

Оскільки згідно визначення прямо пропорційних величин, при збільшенні (зменшенні) однієї 0 величини в декілька раз, в стільки ж раз збільшиться (зменшиться) друга величина.

20 : 1 = 40 : 2 – ми збільшили змінну y і х в 2 рази, відношення величин не змінилось.

Якщо ми обернемо дані величини, то рівність також збережеться:

1 : 20 = 2 : 40

Звідси можемо зробити такий висновок:

Для прямо пропорційних величин відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини. Вірним і буде обернене твердження.

Задачі на просте потрійне правило

В математиці і повсякденному житті часто трапляються задачі на прямо пропорційні величини, в яких треба знайти четверту величину, знаючи три інші. Такі задачі зваедено називати задачами на просте потрійне правило. Розглянемо декілька таких задач.

Задача. 3 кг апельсин коштують 210 грн. Яка вартість 7 кг апельсин?

Розв’язання:

Розв’язати таку задачу можна 2 способами – через знаходження ціни 1 кг і через пропорцію. Розглянемо кожен із них.

1-ий спосіб

Знайдемо ціну 1 кг апельсин: 210 : 3 = 70 (кг)

Порахуємо вартість 7 кг: 70 ⋅ 7 = 490 (грн)

2-ий спосіб

Оскільки ціну апельсин прямо пропорційна вазі, позначимо вартість 7 кг змінною х і запишемо пропорцію:

х : 7 = 210 : 3

Звідси х = (7 ⋅ 210) / 3 = 7 ⋅ 70 = 490 грн.

Відповідь: 7 кг апельсин коштує 490 грн.

Задача. Автомобіль їде зі стабільною швидкістю. В перший день водій проїхав 630 км за 7 год. Скільки часу їхав водій другого дня, якщо відомо, що він проїхав 810 км.

Розв’язання:

Оскільки швидкість авто стала величина, то відстань і час є прямо пропорційними величинами. Тому запишемо пропорцію, позначивши час другого дня буквою х

630 : 7 = 810 : х

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, треба добуток її середніх членів поділити на відомий крайній член:

х = (810 ⋅ 7) / 630 = (9 ⋅ 90 ⋅ 7) / 7 ⋅ 90 = 9 год

Відповідь: 9 год провів в дорозі водій другого дня

Задача. На автоматизованому виробництві іграшок за робочий день тривалістю 7 год виробляють 1470 іграшок. Скільки іграшок виготовлять, якщо збільшити робочий день до 10 год.

Розв’язання:

Запишемо коротку умову задачі і пропорцію

7 год – 1470 іграшок

10 год – х іграшок

Або 1470 : 7 = х : 10

Щоб знайти невідомий середній член пропорції (х) треба добуток крайніх членів (1470 і 10) розділити на відомий середній член (7)

х = (1470 ⋅ 10) / 7 = (7 ⋅ 210 ⋅ 10) / 7 =2100 іграшок

Відповідь: 2100 іграшок виготують за 10 год.

Задачі на складне потрійне правило

Ми вже розв’язали декілька типових задач на просте потрійне правило, де треба було знайти 4 величину пропорції за відомими трьома.

Задачі на складне потрійне правило – це задачі, в яких по даному ряду відповідних один одному значень декількох (більше двох) пропорційних величин, треба знайти значення однієї з величин, яка відповідає другому ряду величин.

Щоб отримати шукане число, достатньо дане значення тієї ж величини помножити послідовно на відношення даних значень інших величин, беручи відношення нового значення до попереднього, якщо величина прямо пропорційна тій, значення якої знаходиться, і попереднього значення до нового, коли величина обернено пропорційна тій, значення якої знаходиться.

Задача. 10 робітників за 6 год перенесли 3600 мішків цементу. Скільки мішків цементу перенесуть 8 працівників за 8 год?

Розв’язання:

1-ий спосіб: через знаходження кількості мішків на 1 працівника за 1 год часу

Знайдемо, скільки мішків перенесе 1 працівник за 6 год: 3600 : 10 = 360 мішків

Знайдемо, скільки мішків перенесе 1 працівник за 1 год: 360 : 6 = 60 мішків

Знайдемо, скільки мішків перенесе 1 працівник за 8 год: 60 ⋅ 8 = 480 мішків

Знайдемо, скільки мішків перенесуть 8 працівник за 8 год: 480 ⋅ 8 = 3840 мішків

2-ий спосіб: через пропорції

Запишемо коротку умову задачі і пропорцію:

10 роб. за 6 год – 3600 мішків

8 роб. за 8 год – х мішків

Щоб знайти х (невідомий член пропорції), треба добуток середніх членів поділити на відомий крайній член:

Відповідь: 3840 мішків перенесуть 8 працівників за 8 год.

Задача. Бригада штукатурів у складі 30 людей працювала 36 днів. За цей час бригада поштукатурила 1944 квадратних метри площі. Скільки квдратних метрів поштукатурить бригада з 25 людей за 30 днів при такій же продуктивності праці.

Розв’язання:

1-ий спосіб: через знаходження поштукатуреної площі 1 працівником за 1 день

Обчислимо, поштукатурену площу бригадою за 1 день: 1944 : 36 = 54 кв.м.

Обчислимо, поштукатурену площу 1 працівником за 1 день: 54 : 30 = 27/15 кв.м.

Обчислимо, поштукатурену площу бригадою з 25 працівників за 1 день: 25 ⋅ 27/15 = 135/3 кв.м.

Обчислимо, поштукатурену площу бригадою з 25 працівників за 30 днів: 30 ⋅ 135 / 3 = 10 ⋅ 135 = 1350 кв.м.

2-ий спосіб: через введення поняття людино-день і зведенням до одиниці

Обчислимо, скільки людино-днів затрачено, на штукатурку 1944 кв.м. площі: 30 ⋅ 36 = 1080

Обчислимо, яку площу буде поштукатурено за 1 людино-день: 1944 / 1080

Обчислимо, скільки людино-днів витратить бригада з 25 людей за 30 днів: 25 ⋅ 30 = 750

Обчислимо, поштукатурену площу бригадою з 25 працівників за 30 днів при незмінній продуктивності: (1944⋅ 750)/1080 = 1350

3-ий спосіб: через пропорцію

30 людей за 36 днів – 1944 кв.м.

25 людей за 30 днів – х