Урок 19. Квадратична функція, її графік та властивості

Що таке квадратична функція? Формула, область визначення

Квадратичною (або квадратною) називають функцію, яку можна виразити формулою:

де х – аргумент,  а, b і c – певні числа, при чому а ≠ 0

Найпростішою квадратичною функцією є функція вигляду

Дана функція є парною, необмеженою, областю визначення функції є всі дійсні числа. Функція зростає при х > 0 і спадає при х < 0.

Графік квадратичної функції. Як знайти координати вершини параболи?

Графіком функції  є крива лінія, що називається параболою. Область визначення функції – всі дійсні числа.

Обчислимо значення функції залежно від значення аргументу х.

Позначимо точки координат із таблиці на координатній площині:

З’єднаємо точки, провівши плавну лінію:

В точці початку координат (0;0) парабола ділиться на дві рівні частини, які називають гілками параболи, а саму точку – вершиною параболи.

Отже, властивості функції:

• якщо х = 0, то і у = 0  - це означає, що графік проходить через початок координат
• при будь-яких значеннях х значення функції є додатними;
• протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції (графік симетричний відносно осі  у);
• при х < 0, функція спадає, при х ˃ 0, функція зростає.

Крім того, квадратичну функцію можна задати рівнянням виду:

Таке рівняння ми отримали шляхом перетворення (виділення з тричлена квадрата двочлена):

Якщо в рівнянні

Позначимо значення виразів через m та n

В результаті отримаємо рівняння

де m і n – координати вершини квадратичної функції

Тому координати вершини параболи можна знайти за формулою:

або координати вершини параболи (m; n)

Отже, графіком функції  є парабола, конгруентна параболі 

Віссю симетрії такого графіка є пряма х = m або:

При а < 0 вітки параболи направлені вниз і значення

є найбільшим значенням функції.

При а > 0 вітки параболи направлені вгору і значення

є найменшим значенням функції.

Розглянемо детальніше розташування графіка в залежності від значень D:

Якщо  D < 0, то парабола не перетинає осі абсцис, якщо  D = 0, то парабола дотикається до осі х  у вершині, якщо D ˃ 0 , то парабола перетинає вісь х у точках:

Парабола перетинає вісь у в точці з координатами  (0; с)

Як побудувати параболу (графік квадратичної функції)? Приклади

Приклад. Побудувати графік функції 

Даний графік виходить з графіку  шляхом паралельного перенесення вздовж осі ординат на 2 одиниці вниз (оскільки b=-2):

Приклад. Побудувати графік функції

Виділивши з тричлена квадрат двочлена, отримали рівняння:

Розрахуємо координати декількох точок, що належать графіку:

Мінімальне значення (3) функція набирає при х = 8. При збільшенні або зменшенні х на однакову величину порівняно з точкою мінімуму, значення функції є однаковим. Наприклад, при х = 8 + 1 = 9, у = 3,5; при х = 8 – 1 = 7, у = 3,5. Позначимо значення х та у на координатній площині та з’єднаємо їх плавною лінією. Отримаємо графік функції:

Можна зробити висновок, що графіком функції  є парабола, що є образом параболи ,

при паралельному перенесенні якої початок координат відображає точку з координатами (8; 3).

Приклад. Побудувати графік квадратичної функції

Оскільки функція квадратична, її графіком є парабола. Тому знайдемо координати вершини параболи, попередньо перетворивши у рівняння вигляду:

Мінімальне значення функції буде при х = -1, звідси у = 2 (-1 + 1) - 3 = -3

Отже, координати вершини параболи: (-1; -3).

Віссю симетрії параболи буде пряма х = -1. Гілки параболи спрямовані вгору, знайдемо декілька значень х та у:

Зобразивши точки на координатній площині і з’єднавши їх плавною лінією, отримаємо графік функції:

Приклад. Знайти координати вершини параболи

Визначити координату абсцису вершини параболи можна за формулою:

Отримаємо

Підставимо значення х = -1 в формулу квадратичної функції і знайдемо значення у (ординату вершини параболи):

Отже, координати вершини параболи (-1; -3)

Приклад. Побудувати графік функції 

Для побудови графіка даної функції достатньо параболу функції  перемістити на шість одиниць вправо уздовж осі х (на графіку – червона парабола):

Приклад. Дослідити на екстремум функцію 

Після перетворень бачимо, що вираз

завжди додатний, це означає, що значення функції також буде завжди додатним, незалежно від значення х.

Мінімум функції буде в точці х = -1, а максимуму функція не має.