Урок 15. Обернені функції та відношення: приклади

Обернене відношення: приклади

Перед тим, як перейти до аналізу оберненої функції, дослідимо відношення, обернене даному.

Розглянемо елементи множин Х та У, між якими встановлено відношення р і зображене за допомогою стрілок.

А тепер поміняємо напрямок стрілок і отримаємо нове відношення q між елементами множини Y і елементами множини Х.

Говорять, що q є відношення, обернене (зворотне) до відношення р. Відповідно відношення р є оберненим відношенню q.

Визначимо області визначень та значень множин:

• Область визначення р: {–3; –2; –1}
• Область значень р {2; 3; 4; 5}
• Область визначення q: {2; 3; 4; 5}
• Область значень q: {–3; –2; –1}

Бачимо, що область визначення та область значень відношень є взаємно-оберненими.

Крім того, ми можемо записати відношення p між елементами множин Х і Y парами {(–3; 2); (–2; 3); (–1; 4); (–1; 5)}. Якщо поміняти місцями елементи в кожній парі, то отримаємо пари, якими задається відношення q, обернене до відношення р: {(2; –3); (3; –2); (4; –1); (5; –1)}

Якщо певне відношення визначається множиною пар, то зворотне йому відношення визначається множиною пар, яка отримана з першого відношення перестановкою елементів в кожній парі.

Приклад

Розглянемо взаємно-обернені відношення р і q на графіках.

Графік відношення р:

Графік відношення q:

Графік відношення р та q в одній системі координат:

На графіку чітко візуалізуються пари координат (–3; 2) і (2; –3); (–1; 4) і (4; –1) і т.д. Такі точки є симетричними відносно прямої у = х, абсциса першої точки є ординатою другої і т.д. Кожній точці графіку відношення  р  відповідає симетрична відносно прямої  у = х  точка графіку відношення  q, і навпаки. Тому можемо зробити висновок: графіки відношень р і q симетричні відносно прямої  у = х

Графіки взаємно-зворотних відношень між числами симетричні відносно прямої у = х.

Приклад

Ще один приклад взаємно-обернених відношень – це відношення «дільник» і «кратне» між натуральними числами.

Адже, якщо m і n – певні натуральні числа і  m є дільником n, то n кратне m, і навпаки, якщо n кратне m, то m дільник n. Наприклад, з того, що  <<5 дільник 10>>, витікає, що  <<10 кратно 5>>; з того, що  <<18 кратно 6>>, витікає, що  <<6 дільник 18>>.

Обернені функції

Приклад

Розглянемо приклад, де задане відношення р між елементами множин А і В. Дане відношення є функцією, оскільки кожному елементу множини А відповідає не більше одного елемента множини В.

Зобразимо відношення q, яке є оберненим до відношення р:

Відношення q не буде функцією, оскільки елементу 2 множини В відповідає більше одного елемента множини А (елементи 5 і 6).

Приклад

Дано відношення f між елементами множин X та Y, а також обернене йому відношення g між елементами множин Y та X. Визначити, чи є відношення функціями

Оскільки для обидвох відношень характерно те, що кожному елементу множини Х відповідає не більше одного елемента множини У і навпаки, кожному елементу множини У відповідає не більше одного елемента множини Х, можемо стверджувати, що відношення f та відношення g є функціями.

Функція f називається оберненою, якщо обернене їй відношення також є функцією. Функція обернена тоді і тільки тоді, коли кожного свого значення вона набуває лише при одному значенні аргументу.

Особливості оберненої функції:

• Будь-яка зростаюча функція є оберненою
• Функція, яка обернена зростаючій функції, є зростаючою
• Будь-яка спадна функція є оберненою
• Функція, яка обернена спадній функції, є спадною
• Якщо деяке відношення f задане рівнянням з двома змінними х  і  у, то для завдання рівнянням відношення, оберненого f, достатньо в цьому рівнянні поміняти позначення х на у та у на  х.

Наприклад, якщо у функції у = 3х – 2 виразити х через у, записавши в рівності х замість у і у замість х, отримаємо:

х = 3у - 2

Ця функція буде оберненою до даної. Такі функції є взаємно оберненими.

Графіки таких функцій будуть симетричними відносно прямої у = х:

Приклад

Визначити графічно, яка функція є оберненою:

Графік функції g:

Функція g обернена, оскільки немає такого значення функції, яке відповідало б різним значенням аргументу.

Графік функції h

Функція h не обернена, оскільки існує таке значення функції, наприклад у = 3, яке відповідає трьом різним значенням змінної х. y = 3 при х =-2,2, при х = 2,5, при х = 4,6.

Приклад

Визначити, чи існує функція обернена до функції:

Наявність оберненої функції залежить від області визначення. Так, на проміжку ]–∞; +∞ [ оберненої функції не існує, проте на проміжку [0; +∞ [ обернена функція існує.