Урок 21. Графіки та властивості степеневих функцій

Графік степенової функції залежно від показника степеня

Степенева функція з нульовим показником

Розглянемо декілька варіантів степенової функції в залежності від показника степеня.

Якщо р = 0, то степенева функція визначена для всіх значень х, крім х = 0, функція є постійною і рівною одиниці:

Степенева функція з натуральним непарним показником

n = 1, 3, 5, 7, 9, 11 …

Оскільки показник степеня є непарним числом, його можна задати формулою:

n = 2k + 1, де k = 0, 1, 2, 3 і т.д., тобто k – будь-яке ціле додатне число

Графік функції з натуральним непарним показником

Властивості такої функції:

• Область визначення: –∞ < х < +∞
• Множина значень: –∞ < у < +∞
• Функція непарна, оскільки у(–х) = –у(х)
• Функція монотонно зростає
• Не має екстремумів (нема мінімального, максимального значень)
• при  –∞ < х < 0  функція опукла вверх, а при  0 < х < ∞  - опукла вниз
• х = 0, у = 0 є точками перегину функції. Крім того, в цих точках функція перетинає осі координат
• функція є зворотною при  n = 1, функція є зворотною до самої себе:  х = у, при n ≠ 1, зворотною функцією є корінь значення  n:

Степенева функція з натуральним парним показником

n = 2, 4, 6, 8, 10, 12 …

Показник n = 2, 4, 6… можна записати у вигляді:

n = 2k, де  k = 1, 2, 3, …  – натуральне число

Графік функції з натуральним парним показником має вигляд:

Розглянемо властивості даної функції

• Область визначення: –∞ < х < +∞
• Множина значень: 0 ≤ у < +∞
• Функція є парною, оскільки у(–х) = у(х)
• Функція монотонно зростає при х > 0 та монотонно спадає при х < 0
• Екстремуми: мінімум х = 0, у = 0
• функція є зворотною при n = 2 , при  n ≠ 2 

Степенева функція з цілим від’ємним показником n = –1, –2, –3, -4 … 

Якщо представити показник степеня n = –k, де  k = 1, 2, 3, 4 і т.д. (натуральне число)

Графік функції з цілим від’ємним показником n має вигляд:

Властивості функції з цілим від’ємним непарним показником (n= -1, -3, -5 і т.д.)

• Область визначення: х ≠ 0
• Множина значень: у ≠ 0
• Функція є непарною, оскільки у(–х) = -у(х)
• Функція монотонно спадає
• Екстремумів функції нема
• при  х < 0  функція опукла вверх, а при  х > 0 - опукла вниз
• функція не перетинає початок координат, не має точок перегину
• функція зворотна: 

Властивості функції з цілим від’ємним парним показником (n= -2, -4, -6 і т.д.)

• Область визначення: х ≠ 0
• Множина значень: у >0
• Функція непарна, оскільки у(–х) = -у(х)
• Функція монотонно спадає при х > 0 та монотонно зростає при х < 0
• Екстремумів функції нема
• функція опукла вниз
• функція не перетинає початок координат, не має точок перегину
• функція зворотна: 

Степенева функція з раціональним (дробовим) показником

Дослідимо степеневу функцію з дробовим показником степеня:

де n – ціле число, m ˃ 1 – натуральне число. Числа n та m не мають спільних дільників.

Розглянемо декілька варіантів значень дробового показника при різних значеннях n та m:

Знаменник дробового показника непарний

Якщо знаменник дробового показника  непарний m = 3, 5, 7 і т.д., то степенева функція визначена як для додатних, так і для від’ємних значень аргументу х.

Знаменник дробового показника непарний, р < 0

Графік степенової функції:

з раціональним від’ємним показником при різних значеннях показника степеня

де  m = 3, 5, 7, … – непарне

Непарний показник, n = –1, –3, –5, … , m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне число

Властивості степенової функції при даних значеннях n, m

• Область визначення: х ≠ 0
• Множина значень: у ≠ 0
• Функція непарна, оскільки у(–х) = -у(х)
• Функція монотонно спадає
• Екстремумів функції нема
• функція опукла вниз при х > 0, опукла вверх при x > 0
• функція не проходить через початок координат, не має точок перегину
• Зворотна функція 

Парний показник n = –2, –4, –6, …, m = 3, 5, 7 (непарне натуральне число)

Властивості степенової функції при даних значеннях n, m

• Область визначення: х ≠ 0
• Множина значень: у >0
• Функція парна, оскільки у(–х) = у(х)
• Функція монотонно спадає при х >0, монотонно зростає при х < 0
• Екстремумів функції нема
• функція опукла вниз
• функція не проходить через початок координат, не має точок перегину
• Зворотна функція

Показник р додатний і менший одиниці 0 < р < 1

Графік степенової функції  з раціональним показником  (0 < р < 1)  при різних значеннях показника степеня , де  m = 3, 5, 7, … – непарне число

Показник р додатний і менший одиниці 0 < р < 1, де  n = 1, 3, 5, … – непарне натуральне число, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

• Область визначення: –∞ < х < +∞
• Множина значень: –∞ ≤ у < +∞
• Функція непарна, оскільки у(–х) = - у(х)
• Функція монотонно зростає
• Екстремумів функції нема
• функція опукла вниз при х < 0, опукла вгору при х > 0
• функція проходить через початок координат і має точки перегину при х=0, у=0
• Зворотна функція

Показник р > 1, якщо m = 3, 5, 7, 9… – непарне число

Показник р > 1, якщо n = 3, 5, 7, 9… – непарне число, m = 3, 5, 7, 9… – непарне число

• Область визначення: –∞ < х < +∞
• Множина значень: –∞ < у < +∞
• Функція непарна, оскільки у(–х) = - у(х)
• Функція монотонно зростає
• Екстремумів функції нема
• функція опукла вниз при 0 < х < +∞, опукла вгору при х –∞ < х < 0
• функція проходить через початок координат і має точки перегину при х=0, у=0
• Зворотна функція

Показник р > 1, якщо n = 4, 6, 8… (парне число), m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

• Область визначення: –∞ < х < +∞
• Множина значень: 0 ≤ у  < +∞
• Функція парна, оскільки у(–х) = у(х)
• Функція монотонно зростає при х > 0, монотонно спадає при х < 0
• Екстремумів функції при х = 0, у = 0
• функція опукла вниз
• функція проходить через початок координат і не має точок перегину
• Зворотна функція 

Функція у = х в кубі, її графік

Функцію, задану формулою , називають кубічною функцією.

Складемо і запишемо таблицю значень функції:

Для зручності рекомендуємо скористатись калькулятором піднесення до степеня.

Ознайомившись з даними таблиці, можемо зробити наступні висновки: при  х > 0  і  у > 0, при  х < 0  і  у < 0. Це означає, що графік розташований в 1 і 3 чвертях координатної площини. Якщо замінити значення аргументу х на протилежне, то функція набуде протилежного значення. Графічно це означає, що кожній точці (х; у) графіку відповідає точка (–х; –у) того ж графіку – дані точки розташовані симетрично відносно початку координат.

Графіком функції є кубічна парабола:

В першій чверті х > 0 кубічна парабола стрімко піднімається вгору

Дослідивши функцію, можемо виокреслити наступні її властивості:

• при  х = 0, у = 0, при  х > 0, у > 0, при  х < 0, у < 0;
• кубічна функція не має екстремуму – нема ні максимального, ні мінімального значення функції;
• для функції характерним є зростання на усій числовій осі (–∞; +∞);
• протилежним значенням аргументу, відповідають протилежні значення функції.

Функція кубічного кореня . Її графік

• Областю визначення функції є вся числова пряма (–∞; +∞);
• Функція непарна, адже 
• Функція зростає при всіх значеннях х

Щоб побудувати графік функції, складемо таблицю значень функції в залежності від х:

Для складання таблиці рекомендуємо користуватись калькулятором кубічного кореня

Графік функції кубічного кореня