Лінійна функція: графік, властивості, приклади

Що таке лінійна функція?

Лінійна функція – це функція, яку можна задати формулою:

де х – незалежна змінна, a та b – числа

Графік лінійної функції та її властивості

Розглянемо детальніше особливості лінійної функції, в залежності від області визначення, значень а та b. Областю визначення лінійної функції є множина всіх дійсних чисел. Якщо а ˃ 0, то функція зростає, а при а < 0 – вона спадає. У випадку, коли а = 0, то лінійна функція парна, обмежена, періодична. Її періодом можна вважати будь-яке додатне число, проте найменшого періоду не існує. При а ≠ 0 лінійна функція неперіодична, необмежена; при b ≠ 0 функція не є ні парною, ні непарною; при b = 0 функція є непарною.

Графіком лінійної функції є пряма

Наприклад, графік лінійної функції, яка задана формулою у = 0,5х – 2:

Щоб побудувати графік лінійної функції, складемо таблицю значень х та у:

Позначимо на координатній площині відповідні координати та з’єднаємо точки, провівши пряму.

Кожна пряма на координатній площині, яка не перпендикулярна осі абсцис і не проходить через початок координат, є графіком лінійної функції.

Отже, для того щоб побудувати графік лінійної функції, достатньо знайти координати 2 точок, позначити їх на координатній площині та провести через них пряму лінію.

Приклади графіків лінійних функцій:

Число (коефіцієнт а) характеризує кут, який утворює графік функції з додатним напрямком осі Ох

Приклад

Графік функції у = –2 – пряма, паралельна осі Ох. Будь-якому значенню х відповідає значення у = 2

Крім того, лінійна функція може бути напівпрямою або відрізком, в залежності від області визначення.

Наприклад, побудувати графік лінійної функції у = –2х + 1, якщо х ∈ [–3; 2]

Складаємо таблицю значень згідно області визначення:

Позначаємо на координатній площині точки (–3; 7), (2; –3) та з’єднаємо їх

Приклад

Міста Львів і Винники розташовані на відстані 10 км. Автомобіль виїхав з міста Винники в напрямку, протилежному місту Львів, зі швидкістю 80 км/год. Через час t машина знаходитиметься від міста Львів на відстані: 80t + 10 (80t – відстань, яку проїде авто за час t зі швидкістю 80 км/год; 10 – відстань від Львова до Винник).

Тобто, S = 80t + 10, де t ≥ 0

Функція, яка виражає залежність відстані від часу, є лінійною

Приклад

Олена купила морозиво за 30 грн. та цукерки, які коштують 2 грн. за штуку. Записати функцію залежності вартості покупки від кількості куплених цукерок.

Нехай х – кількість куплених цукерок, у – вартість покупки.

Тому у = 2х + 30, де 2х – вартість цукерок, 30 – вартість морозива.

Дана функція є лінійною.

Приклад. Визначити значення лінійної функції f (x) = 1/3 х + 6 в точці х = - 24

Розв’язання: f (x) = 1/3 х + 6 = 1/3 ⋅ (-24) + 6 = -8 + 6 = -2

Відповідь: в точці х = -24 функція дорівнює -2