Найбільше і найменше значення функції. Як знайти точки екстремуму

Окіл точки

В процесі дослідження, як поводить себе функція поблизу певної точки, використовують поняття околу.

Окіл точки – це будь-який інтервал, що містить цю точку.

Для кращого розуміння наведемо приклад.

Інтервал (4; 8) є одним з околів точки 5; інтервал (–-6,2; –5,9) – окіл точки  –6

Графічний приклад

Розглядаючи графік функції на рисунку нижче, варто звернути увагу на такі «найбільш яскраво виражені» точки х, при яких зростання функції різко змінюється на спадання (точки 3 і 5) або, навпаки, спадання функції переходить у зростання (точка 4).

Таким чином, виокремлюють найбільше (найменше) значення функції на певному проміжку, та її максимум (мінімум).

Приклад

Графік даної функції має на сегменті [–3; 6] має найбільше значення в точці х = 1 і найменше в точці  х = 6.

Що таке точка мінімуму та мінімум функції?

На графіках функцій точки мінімуму зображено наступним чином:

Це і буде найменше значення функції при даному аргументі.

В більшості випадків, в околі точки мінімуму графіки зображають у вигляді «западини» гострої, як на рис. 1 або гладенької, як на рис. 2.

Мінімум функції – це значення функції в такій її точці, в якій воно є найменшим у будь-якому, наскільки завгодно малому околі цієї точки.

Тобто,

Що таке максимум функції? Точки екстремуму

Максимум функції – це значення функції в такій її точці, в якій воно є найбільшим у будь-якому, наскільки завгодно малому околі цієї точки.

Точки мінімуму і точки максимуму заведено називати точками екстремуму.

Основні позначення точок екстремуму і екстремумів

Приклади на знаходження найбільше і найменше значення функції

Приклад. Дослідити функцію на екстремум, знайти точки екстремуму

Оскільки функція задана через дріб, то значення функції у буде найбільшим, при найменшому значенні знаменника, тобто при х = 0. Проте це найбільше значення функції не є її максимумом (локальним), оскільки  х = 0  є крайньою точкою області визначення даної функції. Мінімум функція також не має.

Приклад. Побудуйте графік функції (у = –2х + 1, де х ∈ [–3; 2]) і знайдіть її найбільше та найменше значення

Оскільки функція лінійна, достатньо знайти її 2 пари координат і з’єднати. При х = -3, у = -2 ⋅ (-3) + 1 = 7; при х = 2, у = -2 ⋅ 2 + 1 = -3

Графік функції матиме вигляд:

Найбільше значення функції: у (найб.) = 7

Найменше значення функції: у (найм.) = -3

Приклад. Побудуйте графік функції (у = –2х + 1, де х ∈ (–3; 2)) і знайдіть її найбільше та найменше значення.

На відміну від попереднього прикладу точки -3 і 2 не включені в область визначення функції.

Тому графік матиме вигляд:

Оскільки кінці відрізку, в яких функція досягала найбільшого та найменшого значення не включені, то можемо сказати, що для даних умов найбільшого та найменшого значення не існує.