Урок 22. Метод геометричних перетворень для побудови графіків функцій

Що таке перетворення графіків функцій?

Перетворення графіків функцій – це лінійні перетворення функції y = f(x) або її аргументу х до виду y = a f(kx + b) + m, а також перетворення з використанням модуля.

Знаючи, як правильно будувати графіки функції y = f(x), де

можна побудувати графік функції y = a f(kx + b) + m

Загальний вигляд перетворення функції

Паралельне перенесення графіку уздовж осі абсцис на |b| одиниць

Правило перетворення звучить так:

Графік функції y = f(x – b) можна одержати із графіка функції y = f(x) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі х на b одиниць вправо, якщо  b < 0, і на  b одиниць вліво, якщо  b ˃ 0

Розглянемо детальніше дане правило на прикладі.

Приклад. Побудувати графік функції

Щоб побудувати графік такої функції, достатньо побудувати графік функції  і паралельно перенести графік вліво на 2 одиниці вздовж осі х (оскільки b = 2 ˃ 0).

В результаті отримаємо графік:

Приклад. Побудувати графік функції

Щоб побудувати графік такої функції, достатньо побудувати графік функції і паралельно перенести графік вправо на 2 одиниці вздовж осі х (оскільки b = -3 < 0).

В результаті отримаємо графік:

Паралельне перенесення графіку уздовж осі ординат на |m|одиниць

Графік функції y = f(x) + m, де m ˃ 0, можна одержати із графіка функції  y = f(x)  за допомогою паралельного перенесення вздовж осі у на m одиниць вгору, якщо  m ˃ 0, і на m одиниць вниз, якщо m < 0.

Приклад. Побудувати графік функції

Щоб побудувати графік такої функції, достатньо побудувати графік функції  і паралельно перенести графік вниз на 5 одиниць вздовж осі у (оскільки m = -5 < 0).

В результаті отримаємо графік:

Приклад. Побудувати графік функції

Щоб побудувати графік такої функції, достатньо побудувати графік функції і паралельно перенести графік вгору на 4 одиниці вздовж осі у (оскільки m = 4 > 0).

В результаті отримаємо графік:

Відображення графіку

Побудова графіку y = f(–x)

Щоб побудувати графік функції  y = f(–x), необхідно симетрично відобразити графік функції  y = f(x)  відносно осі ординат.

Приклад. Побудувати графік функції у = –х + 3

Щоб побудувати графік функції у = –х + 3, необхідно побудувати графік у = х + 3  і відобразити його симетрично відносно осі у.

В результаті отримаємо графік:

Побудова графіку y = -f(x)

Щоб побудувати графік функції  y = –f(x), необхідно симетрично відобразити графік функції y = f(x)  відносно осі абсцис (х).

Приклад. Побудувати графік функції

Щоб одержати графік функції , треба побудувати графік функції х в квадраті і паралельно перенести графік праворуч на 3 одиниці вздовж осі х.

Після цього будуємо графік , відобразивши одержаний графік симетрично відносно осі х:

Стискування і розтягування графіку

Розглянемо графік функції y = f (kx)

Яким буде графік в залежності від значення k?

При k ˃ 1 – відбувається стискування графіку до осі ординат в k разів, при 0 < k < 1 – розтягування графіку від осі ординат в k разів. Детальніше проаналізуємо на прикладі.

Приклад. Побудувати графік функції

Спочатку побудуємо графік функції у = х в квадраті, далі виконуємо стиск графіка втричі відносно осі у, в результаті отримаємо графік:

Приклад. Побудувати графік функції

Спочатку побудуємо графік функції  у = √͞͞͞͞͞х. Далі виконаємо розтягнення графіка функції в 1/3 від осі у. В результаті отримаємо графік:

Розглянемо графік функції y = k f (x)

Якщо k ˃ 1 відбувається розтягування графіку від осі абсцис в k разів, якщо 0 < k < 1 – стискування графіку до осі абсцис в k разів.

Приклад. Побудувати графік функції у = 3√͞͞͞͞͞х

Спочатку побудуємо графік у = √͞͞͞͞͞х і розтягнемо його утричі від осі х. Отримаємо графік у = 3√͞͞͞͞͞х:

Приклад. Побудувати графік функції

Побудуємо графік кубічної функції і стиснемо графік в 3 рази до осі х. Отримаємо графік:

Перетворення графіку з модулем

Розглянемо функцію у = | f(x)|

Очевидно, що при f(x) ˃ 0 – графік залишається без змін, при  f(x) < 0 – графік симетрично відбивається відносно осі абсцис.

Приклад. Побудувати графік функції

Спочатку побудуємо графік функції , для цього будуємо графік функції х в квадраті та перенесемо графік вниз на 6 одиниць вздовж осі у.

Далі відображаємо симетрично відносно осі х ту частину графіка, яка міститься під віссю, й одержуємо графік функції

Розглянемо функцію у = f(|x|)

Очевидно, що при x ≥ 0 – графік залишається без змін, при x < 0 – графік симетрично відбивається відносно осі абсцис.

Приклад. Побудувати графік функції

Щоб побудувати графік , будуємо графік функції х в квадраті і паралельно переносимо графік вправо на 1 одиницю вздовж осі х:

Приклад. Побудувати графік функції у = 5|x| – 3

Спочатку побудуємо графік у = 5|x| – 3, для цього побудуємо графік у = 5х і паралельно переносимо його вправо на 3 одиниці вздовж осі х.

Далі залишаємо без змін ту частину графіка, яка відповідає невід’ємним значенням х (де х>0). Симетрично відображаємо відносно осі у частину отриманого графіка для невід’ємних х. В результаті отримаємо графік функції у = 5|x| – 3: