Обернено пропорційна залежність. Графік оберненої пропорційності

Обернено пропорційна залежність

Про обернено пропорційну залежність між величинами ми говорили на уроці Урок 4. Обернено пропорційна залежність: властивість величин, задачі.

Нехай дано прямокутник зі сторонами х та у. Площа прямокутника складає 6 метрів квадратних. Залежність сторін прямокутника можна задати формулою:

Це означає, що при збільшенні аргументу х (однієї сторони прямокутника), відповідне значення функції у (другої сторони прямокутника) збільшиться в стільки ж разів.

В таких випадках говорять, що змінна у обернено пропорційна до змінної х.

Отже, залежність між величинами х та у, яку можна виразити формулою:

де k – деяке задане число, називають обернено пропорційною залежністю.

При цьому х, у, k можуть бути як додатними, так і від’ємними; х ≠ 0

Приклад. Визначіть, яка з функцій не є оберненою пропорційністю:

Відповідь: функція, описана у варіанті б не є оберненою пропорційністю, а прямою.

Графік оберненої пропорційності. Що таке гіпербола?

Побудуємо графік для функції у = 12/x

Для цього складемо таблицю значень х та у:

З таблиці бачимо, що додатним значення х відповідають додатні значення у; від’ємним х – від’ємні значення у. Крім того, при збільшенні х значення у зменшується. Важливо уточнити, що х ≠ 0, тобто графік не проходить через початок координат.

Нанесемо точки з таблиці на координатну площину:

З’єднаємо їх, провівши криву лінію:

Графіком обернено пропорційної залежності є крива лінія, яка складається з двох окремих віток, розташованих в першій і третій координатній чвертях при k ˃ 0 або в другій і четвертій – при k < 0.

Дану функцію ще називають рівносторонньою гіперболою. Вона непарна, неперіодична, необмежена при 0 <х <0, симетрична відносно початку координат. В залежності від значення k функція зростає (при k > 0) і спадає (при k < 0).

Тому відповідаємо на поширене запитання: Графіком якої функції є гіпербола? Гіпербола є графіком функції оберненої пропорційності.

Графік обернено пропорційної залежності при k ˃ 0

у = 1/х

Графік обернено пропорційної залежності при k < 0

у = - 1/х

Приклад. Визначіть графік, який відповідає функції у = –6/х

Розв’язання:

у = –6/х – це обернено пропорційна функція, графіком якої є рівностороння гіпербола. Оскільки k = -6, це означає, що графік функції розташований в другій і четвертій чвертях координатної площини. Тому графік функції у = –6/х відповідає варіанту а.