Урок 4. Обернено пропорційна залежність: властивість величин, задачі

Обернено-пропорційні величини

Дві взаємопов’язані величини називаються обернено-пропорційними, якщо для них виконується така залежність: при збільшенні (зменшенні) однієї величини у декілька раз, друга величина зменшується (збільшується) у стільки ж раз.

На практиці можна зустріти багато обернено-пропорційних величин в повсякденному житті – швидкість і час за однакової відстані, довжина і ширина прямокутної земельної ділянки при незмінній площі і т.д.

Приклад. Відстань між містами України складає 1200 км. В залежності від швидкості транспорту обчислений час подорожі:

З таблиці бачимо, при збільшенні швидкості в 2, 3, 4 і т.д. рази, тривалість поїздки зменшується і 2, 3, 4 і т.д. рази відповідно.

Властивість обернено-пропорційних величин

Для двох обернено-пропорційних величин виконується така властивість:

відношення двох довільно взятих значень однієї величини дорівнює оберненому відношенню відповідних значень другої величини.

Перевіримо дане твердження на попередньому прикладі, де вказані обернено пропорційні величини – швидкість і час. Візьмемо наступні величини швидкості – 10 і 200, відповідні величини часу – 120 і 6.

Знайдемо співвідношення даних величин: очевидно, що 10 : 200 не дорівнює 120 : 6 (тобто 10 : 200 ≠ 120 : 6). Перевіримо обернене співвідношення: 10 : 200 = 6 : 120, тобто 1 : 20 = 1 : 20

Формула оберненої пропорційності. Задачі

Для пари обернено пропорційних величин добуток будь-якого значення однієї величини на відповідне значення другої величини є сталим числом (тобто не змінюється).

Припустимо, значення однієї величини – x, значення другої величини – у, тоді, виходячи з формули оберненої пропорційності x ⋅ y = K, де К – стале число, добуток величин.

Запишемо величину у, як невідомий добуток:

Задача. Бригада з 24 працівників монтують двері в цілому будинку за 6 днів. За скільки часу встановлять двері 8 робітників при умові, що вони працюють з однаковою продуктивністю праці.

Розв’язання:

Кількість працівників і днів є обернено-пропорційними величинами, адже чим більше працівників, тим швидше (за меншу кількість днів) вони виконають роботу при однаковій продуктивності.

Згідно визначення обернено-пропорційних величин їх добуток є сталим числом. Нехай 8 робітників працюватимуть х днів, запишемо таку рівність:

24 ⋅ 6 = 8 ⋅ х

х = (24 ⋅ 6) / 8 = 3 ⋅ 6 = 18 днів

Відповідь: 18 днів

Задача. Бригада з 6 майстрів роблять ремонт однокімнатної квартири під ключ за 21 робочий день. Скільки майстрів потрібно, щоб зробити ремонт за 18 днів

Розв’язання:

Це типова задача на обернено-пропорційні величини (кількість працівників і час роботи). Нехай х - кількість майстрів, що роблять ремонт за 18 днів. Добуток обернено пропорційних величин є сталим числом, тому:

6 ⋅ 21 = х ⋅ 18

Х = 6 ⋅ 21 / 18 = 6 ⋅ 7 ⋅ 3 / 6 ⋅ 3 = 7 майстрів.

Відповідь: 7 масйтрів

Задача. 2 водяні насоси заповнюють басейн об’ємом 10 тонн за 3 год. За скільки часу заповнять басейн водою 6 насосів.

Розв’язання:

В даній задачі обернено пропорційними є такі величини як кількість насосів і час заповнення.

Нехай х – час, за який 6 насосів заповнять басейн.

Можемо записати добуток обернено пропорційних величин, який є сталим числом:

2 ⋅ 3 = 6 ⋅ х

х = 2 ⋅ 3 / 6 = 1 год.

Відповідь: за 1 год.

Задача. Автомобіліст проїхав відстань між містами за 3 год. Якщо він буде їхати зі швидкістю 96 км/год, то він проїде відстань за 2,5 год. Яка початкова швидкість автомобіліста?

Розв’язання:

Нехай х – початкова швидкість автомобіля

х⋅ 3 = 96 ⋅ 2,5

х = 96 ⋅2,5 / 3 = 80 км / год

Відповідь: 80 км / год