Урок 13. Степінь раціонального числа. Піднесення дробу до степеня

Степінь раціонального додатного числа з натуральним показником

Ми вже вивчали поняття степеня на одному з уроків (див. Урок 10. Степінь числа. Піднесення до степеня. Таблиця степенів натуральних чисел), розглядали властивості степенів з натуральним показником і властивості степеня з цілим від'ємним показником.

Сьогодні ми поговоримо про піднесення раціональних чисел, в тому числі дробів до степеня. Адже основою степеня може бути не лише ціле число, а й раціональне (як додатнє, так і від’ємне).

Як піднести дріб до степеня?

Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник і перший результат записати у чисельнику, а другий — у знаменнику дробу.

Приклад.

Як піднести від’ємне раціональне число до степеня?

Щоб піднести до степеня від’ємне раціональне число (в тому числі, дріб), треба піднести до такого самого степеня модуль цього числа і перед результатом поставити знак плюс, якщо показник степеня парний, або мінус, якщо показник степеня непарний.

Приклади:

Степінь раціонального додатного числа з цілим показником

Для будь-якого раціонального числа a і цілого від’ємного показника n, виконується:

Тобто, раціональне число у від’ємній степені n дорівнює дробу, чисельник якого одиниця, а знаменник – раціональне число у додатній степені n.

Розглянемо приклади зі спрощення степенів:

Розв'язання:

Спростити вираз можна і другим способом, перетворивши у дріб:

Степінь раціонального від’ємного числа з цілим показником

Якщо піднести раціональне від’ємне число до цілого степеня, в результаті можемо отримати як додатне, так і від’ємне число. Все залежить від показника степеня. Якщо від’ємний показник степеня є парним числом, то результатом піднесення до степеня буде додатне число, якщо непарне число – то в результаті піднесення до степеня отримаємо від’ємне число.

Щоб піднести до степеня від’ємне раціональне число (в тому числі, дріб), треба піднести до такого самого степеня модуль цього числа і перед результатом поставити знак плюс, якщо показник степеня парний, або мінус, якщо показник степеня непарний.

Приклади

Властивості степенів раціональних чисел

Степінь раціонального додатного і від'ємного числа з натуруальним і цілим показником має такі ж властивості, як степінь цілого числа.

Множення степенів

Для будь-якого раціонального числа a і показників степенів m і n, виконується:

При множенні степенів одного й того самого раціонального числа показники степенів додають, а основу лишають ту саму.

Піднесення степеня раціонального числа до степеня

Щоб піднести степінь раціонального числа до степеня, потрібно показники степенів перемножити, а основу залишити ту саму.

Для будь-якого раціонального числа a і показників степенів m і n, виконується:

Степінь добутку раціональних чисел

N-ий степінь добутку раціональних чисел дорівнює добутку n-их степенів множників.

Для будь-якого раціонального числа a і показника степеня n, виконується:

Ділення степенів раціональних чисел з цілим показником

Для будь-якого раціонального числа a, яке не дорівнює нулю, і цілих показників степенів m і n, виконується:

При ділені степенів з однаковими основами раціональними числами основу залишають без зміни, а від показника степеня діленого віднімають показник степеня дільника.

Приклад

В даному прикладі основою є раціональне число 6,2, при ділені ми віднімаємо показники степенів: 9 - (-7) = 9 + 7 = 16.

Спрощення виразів зі степенями

Використовуючи основні властивості степенів раціональних чисел, а також правила їх піднесення до степеня, можна спрощувати вирази зі степенями. Розглянемо на прикладі.

Приклад. Спростити вираз

1-спосіб (через перетворення в дріб)

2-спосіб

Приклад. Спростити вираз

Спочатку спростимо кожен вираз окремо:

А тепер виконаємо дії:

Відповідь: