Додавання і віднімання раціональних чисел: приклади, правила

Додавання раціональних чисел

Оскільки раціональні числа бувають додатними і від’ємними, то виконуючи арифметичні дії на ними, варто враховувати правила і особливості.

Правило додавання раціональних чисел з однаковими знаками

Щоб додати два числа з однаковими знаками, необхідно додати їх модулі і перед сумою поставити знак доданків.

Тобто, додаючи два додатні раціональні числа, ми сумуємо їх і ставимо знак плюс перед сумою (або нічого не ставимо). Додаючи від’ємні раціональні числа, ми сумуємо їхні модулі і ставимо знак мінус перед результатом.

Наприклад, знайдемо суму чисел -5,5 і -2,5.

-5,5 + (-2,5) = |-5,5| + |-2,5| = - (5,5 + 2,5) = -8

Розглянемо дію додавання від’ємних раціональних чисел на координатній прямій:

Приклад. Знайти суму чисел 2,6 і 4,3

2,6 + 4,3 = |2,6| + |4,3|= 2,6 + 4,3 = 6,9

Як додати раціональні числа з різними знаками?

Щоб додати два раціональні числа з різними знаками, необхідно від більшого модуля чисел відняти менший модуль і перед різницею поставити знак числа з більшим модулем.

Приклад. Знайти суму чисел: 10,8 + (–15)

10,8 + (–15) = - (|-15| - |10,8|) = - (15 – 10,8) = - 4,2

Приклад. Знайти суму чисел -6,5 і 2,5

-6,5 + 2,5 = – (|–6,5| – |2,5|) = – (6,5 – 2,5) = –4

Розглянемо даний приклад на координатній прямій:

Сума протилежних раціональних чисел

Сума протилежних раціональних чисел дорівнює нулю.

Наприклад, -11,4 + 11,4 = |-11,4| - |14,4| = 11,4 – 11,4 = 0

-3,3 + 3,3 = 0

-0,4 + 0,4 = 0

125,6 + (-125,6) = 0

Властивості додавання раціональних чисел

При додаванні раціональних чисел можна користуватися переставною і сполучною властивостями.

Згідно переставної властивості: від перестановки доданків сума не зміниться

Сполучна властивість додавання раціональних чисел говорить наступне: при заміні кількох доданків їх сумою результат додавання не зміниться.

Завдяки цим властивостям можна виконувати додавання у зручному порядку, групуючи окремо додатні і окремо від’ємні доданки.

Приклад.

(-12,3) + (+22,5) + (–2,7) + (+1,5) + (–10) = (-12,3 - 2,7 - 10) + (22,5 + 1,5) = -25 + 24 = -1

Сума раціонального числа і 0

Якщо один з доданків дорівнює нулю, то сума дорівнюватиме іншому доданку.

а + 0 = 0 + а = а

5,2 + 0 = 0

0 + 0,8 = 0,8

Віднімання раціональних чисел

За своїм змістом віднімання від’ємних раціональних чисел і чисел із різними знаками нагадує віднімання додатних чисел. Адже за допомогою віднімання знаходять невідомий доданок за відомими сумою і одним з доданків.

Оскільки –2,4 + (–3,2) = –5,6,

то –5,6 – (–3,2) = –2,4.

Різницю –5,6 – (–3,2) ми можемо замінити сумою чисел -5,6 + 3,2. Тобто до зменшуваного додається число, протилежне від’ємнику.

Отже, щоб відняти від одного числа друге, треба до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику.

Для раціональних чисел a і b правило віднімання в загальному вигляді:

a – b = a + (–b)

Відповідно будь-який приклад на віднімання раціональних чисел ми можемо записати як суму.

Приклади.

8,2 – 11,6 = 8,2 + (-11,6) = -3,4

–7,5 – 10,5 = -7,5 + (-10,5) = - 18

14,4 – (–3,1) = 14,4 + 3,1 = 17,5

Віднімання раціональних чисел на координатній прямій: або як знайти довжину відрізка

Щоб знайти довжину відрізка на координатній прямій, треба від координати його правого кінця відняти координату лівого кінця.

Розглянемо знаходження довжини відрізка на координатній прямій на прикладі.

Приклад. Нехай на координатній прямій розміщено точку А(-1,5) і точку В(4,5). Знайти довжину відрізка АВ.

Розв’язання:

Щоб знайти довжину відрізка, треба від координати правого кінця (4,5) відняти координату лівого кінця (-1,5):

4,5 – (-1,5) = 4,5 + 1,5 = 6

Відповідь: довжина відрізка АВ складає 6.

Розкриття дужок при додаванні і відніманні раціональних чисел

Ми вже розглядали правила розкриття дужок при додаванні і відніманні цілих чисел (детальніше тут: Урок 3. Додавання і віднімання цілих чисел. Розкриття дужок).

Варто зазначити, що розв’язуючи приклади на додавання, віднімання раціональних чисел, користуються тими ж правилами. Отже, правила розкриття дужок: