Урок 5. Обчислення величини виразів, які стоять під знаком модуля

На попередніх уроках математиках ми вже розглядали поняття модуля або абсолютної величини чисел. Сьогодні ми приділимо увагу обчисленню виразів, які стоять під знаком абсолютної величини, а також їх властивостям.

Основні співвідношення модулів виразів

Дане співвідношення виконується оскільки модуль додатного і від’ємного числа буде додатним числом. Більше того, модулі протилежних чисел є рівними.

Модуль суми чисел

Абсолютна величина алгебраїчної суми двох або кількох чисел є меншою або дорівнює сумі абсолютних величин цих чисел:

Знак рівності виконується, коли а і b рівні нулю або коли мають однакові знаки (або плюс, або мінус). Якщо а і b мають протилежні знаки, тоді має місце знак нерівності  <

Адже, |2 + 3| = |5|= 5 і |2 + 3| = |2|+ |3| = 2 + 3 = 5. Отже, |2 + 3|=|2|+ |3|

Розглянемо приклад, коли а і b мають протилежні знаки:

|-2 + 3| = |1| = 1 і |-2 + 3|= |-2|+ |3| = 2 + 3 =5. Отже, |-2 + 3|<|-2|+ |3|

Модуль різниці чисел

Модуль різниці двох чисел а і b не більше від суми їх абсолютних величин, тобто:

Перевіримо для а = 10 і b = 5

|10 – 5| ≤ |10| + |5|

5 < 15

Перевіримо для а = 5 і b = 10

|5 – 10| ≤ |5| + |10|

5 < 15

Перевіримо для а = 10 і b = -5

|10 – (-5)| ≤ |10| + |-5|

15 = 15

Модуль різниці двох чисел а і b більший або дорівнює різниці їх абсолютних величин, тобто:

Перевіримо для а = 20 і b = 7

|20 – 7| = |13| = 13

|20| – |7| = 20 – 7 =13

Отже, |20 – 7|=|20| – |7|

Якщо а = 7, b = 20:

|7 – 20| = |-13| = 13

|7| – |20|= 7 – 20 = -13

Отже, |7 – 20| > |7| – |20|

Модуль різниці модулів двох чисел а і b не більший від модуля різниці цих чисел, тобто:

Якщо а = 7, b = 20:

||7| – |20||= |7 – 20| = |-13| = 13

|7 – 20|= |-13| = 13

Отже, ||7| – |20||= |7 – 20|

Якщо а = -7, b = 20

||-7| – |20|| = |7 – 20||-13| = 13

|-7 – 20| = |-27|= 27

Тому ||-7| – |20|| < |-7 – 20|

Абсолютна величина добутку чисел

Модуль добутку двох співмножників дорівнює добуткові їх модулів

Якщо а = 10,  b = –7:

|10 × (-7)| = |-70| = 70

| 10| × | -7| = 10 × 7 = 70

Тому |10 × (-7)| =| 10| × | -7|

Якщо а = -10,  b = –7:

|-10 × (-7)| = |70| = 70

| -10| × | -7| = 10 × 7 = 70

Отже, |-10 × (-7)|= | -10| × | -7|

Модуль дробу

Якщо а = 8,  b = –2:

Якщо а = -8,  b = –2: