Нескінченні періодичні десяткові дроби. Перетворення у звичайні дроби

Нескінченні періодичні десяткові дроби

Множину раціональних чисел складають не лише цілі додатні і від’ємні числа, а й дробові. Варто зазначити, що раціональні числа так називають тому, що кожне з них можна записати у вигляді частки двох цілих чисел.

Запишемо раціональні числа у вигляді десяткових дробів, поділивши чисельник на знаменник       

Як бачимо, в другому і третьому прикладі ділення можна продовжувати нескінченно. Адже частками від ділення даних раціональних чисел є нескінченні десяткові дроби, цифри яких періодично повторюються. Числа 1,1666… і 0,363636… називають нескінченними періодичними десятковими дробами.

Будь-який десятковий дріб або ціле число можна перетворити у нескінченний періодичний десятковий дріб,

Якщо дописати до дробової частини десяткового дробу або цілого числа нескінченну кількість нулів справа, то їх значення не зміниться, а вони перетворяться в нескінченні періодичні десяткові дроби.

Наприклад:

6,725 = 6,725000… ,   

15 = 15,000… ,    

–4,6 =  –4,6000…

Таким чином, кожне раціональне число можна подати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. І кожний нескінченний періодичний десятковий дріб зображає деяке раціональне число.

Коли звичайний дріб точно перетворюється у нескінченний періодичний дріб?

У всіх випадках, коли звичайний дріб не перетворюється у точний скінченний десятковий дріб, то від ділення двох чисел отримуємо нескінченний періодичний дріб.

Якщо в розкладі на прості множники знаменника звичайного нескоротного дробу, крім чисел  2  і  5, є інші прості множники, то такий дріб перетворюється у нескінчений десятковий дріб.

Чистий і мішаний періодичний десятковий дріб. Період дробу

Якщо при діленні чисельника на знаменник матимемо нескінченний дріб, у якого одна або кілька цифр повторюються в одній і тій же послідовності, то такий дріб називають періодичним десятковим дробом.

Приклади періодичних нескоротних десяткових дробів:

0,88888… ,  

4,23232323… ,  

7,136136136…

Період дробу – це сукупність цифр десяткового дробу, які повторюються.

Для дробу 0,88888 періодом дробу є число 8, для дробу 4,23232323 – періодом дробу є 23 і для 7,136136136 періодом дробу є 136.

Крім того, виокремлюють ще поділ періодичних нескоротних дробів на:

• Чистий періодичний дріб (дріб, період якого починається відразу після коми)
• Мішаний періодичний дріб (дріб, у якому між комою і періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, наприклад, 1,544444…)

Тому періодичні дроби можна записувати і читати так:

2,555… = 2,(5), читають:  2  цілих 5 у періоді; 

0,4141… = 0,(41) - 0  цілих 41 у періоді

0,27777… = 0,2(77)  - (0  цілих 2 десятих до періоду і 7 в періоді);

Перетворення нескінченного періодичного дробу у звичайний

Нескінченний періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробу, в чисельнику якого різниця між усім числом після коми і числом після коми до періоду, а знаменник складається з «дев'яток» і «нулів», причому, «дев'яток» стільки, скільки цифр у періоді, а «нулів» стільки, скільки цифр після коми до періоду.

Наприклад, записати нескоротний періодичний дріб 0,41 (6) у вигляді звичайного дробу.

Згідно правила перетворення в чисельнику отримаємо різницю 416 – 41 = 375, а в знаменнику одна цифра 9 (характеризує кількість цифр у періоді) і два нулі (кількість цифр після коми до періоду), отже, знаменник дорівнює 900:

Приклад. Записати нескоротний періодичний дріб 0,(1) у вигляді звичайного дробу