Множення і ділення раціональних чисел: властивості, правила

Множення раціональних чисел

Вивчаючи множення раціональних чисел, варто розглянути два основні правила: множення раціональних чисел з різними знаками та з однаковими.

Множення раціональних чисел з різними знаками

Добутком двох раціональних чисел з різними знаками є від’ємне число, модуль якого дорівнює добутку модулів множників.

Це означає, щоб помножити два раціональні числа з різними знаками, треба перемножити їх модулі і перед добутком поставити знак мінус.

Приклади:

–2,5 ⋅ 3 = –(|–2,5| ⋅ |3|) = – (2,5 ⋅ 3) = –7,5

4,4 ⋅ (-0,5) = –(|4,4| ⋅ |-0,5|) = - (4,4 ⋅ 0,5) = -2,2

Множення раціональних чисел з однаковими знаками

Добутком двох раціональних чисел з однаковими знаками є додатне число, модуль якого є добутком модулів множників.

Відповідно, щоб помножити два від’ємні або два додатні раціональні числа, достатньо перемножити їх модулі.

Приклади:

–2,5 ⋅ –3 = |–2,5| ⋅ |–3| = 2,5 ⋅ 3 = 7,5

2,5 ⋅ 3 = |2,5| ⋅ |3| = 2,5 ⋅ 3 = 7,5

Множення на 0, 1, -1

Якщо хоча б один з множників дорівнює нулю, то добуток також дорівнюватиме нулю:

а ⋅ 0 = 0 ⋅ а = а, де а – будь-яке раціональне число

Якщо один із множників дорівнює 1, то добуток дорівнює другому множнику.

а ⋅ 1 = 1 ⋅ а = а, де а – будь-яке раціональне число

Якщо один із множників дорівнює -1, то добуток дорівнює числу, протилежному другому множнику.

а ⋅ (-1) = (-1) ⋅ а = -а, де а – будь-яке раціональне число

Наприклад,

6,2 ⋅ 0 = 0

6,2 ⋅ 1 = 6,2

6,2 ⋅ (-1) = -6,2

Множення декількох раціональних чисел

При множенні декількох раціональних чисел добуток буде додатним числом, якщо кількість від’ємних множників – парне число, а модуль добутку дорівнюватиме добутку модулів всіх множників.

Приклад

–3,5 ⋅ 2 ⋅ (–1,5) ⋅ (–2,5) ⋅ (–4) ⋅ 5,3 ⋅ 10 > 0 – добуток буде додатним числом, оскільки у виразі 4 від’ємних множників (парне число)

При множенні декількох раціональних чисел добуток буде від’ємним числом, якщо кількість від’ємних множників – непарне число, а модуль добутку дорівнюватиме добутку модулів всіх множників.

Приклад

–6,8 ⋅ (–5,4) ⋅ (–0,9) ⋅ (–1,5) ⋅ 8,5 ⋅ 10 ⋅ (–6,9) < 0 – добуток буде від’ємним числом, оскільки у виразі 5 від’ємних множників (непарне число)

Властивості множення раціональних чисел

Аналогічно до властивостей множення натуральних чисел, при множенні раціональних чисел користуються розподільною, переставною і сполучною властивостями. Коротко нагадаємо кожну з них:

Переставна властивість:

Від перестановки множників-раціональних чисел значення добутку не зміниться;

Сполучна властивість множення раціональних чисел:

Щоб добуток двох чисел помножити на третє раціональне число, можна перше число помножити на добуток другого і третього чисел.

Розподільна властивість:

При множенні раціонального числа на суму чисел треба кожний доданок помножити на це число і результати додати.

Приклади. Знайти значення виразів, використовуючи властивості множення раціональних чисел

100 ⋅ (–0,2 + 0,02 – 0,002) = 100 ⋅ (-0,2) + 100 ⋅ 0,02 – 100 ⋅ 0,002 = -20 + 2 - 0,2 = -18,2

(5/8 + 3) ⋅ (–8) = 5/8 ⋅ (-8) + 3 ⋅ (-8) = -5 + (-24) = -29

Знайдіть добуток різниці і суми раціональних чисел: 1,4 і 0,6:

(1,4 – 0,6) ⋅ (1,4 + 0,6) = 0,8 ⋅ 2 = 1,6

Ділення раціональних чисел

Ділення двох від’ємних раціональних чисел та двох чисел із різними знаками має той же зміст, що й ділення додатних чисел: за даним добутком і одним із множників за допомогою ділення визначають другій множник.

Перевіримо дане твердження на прикладі:

Оскільки (–2,6) ⋅ 4,9 = –12,74, то

–12,74 : (–2,6) = 4,9 і

–12,74 : 4,9 = –2,6

У рівності –12,74 : (–2,6) = 4,9 діленим є -12,74, число -2,6 – дільник, а 4,9 – частка.

Обчислимо модулі чисел, які є компонентами при діленні:

|-12,74| = 12,74

|-2,6|= 2,6

|4,9|= 4,9

Можемо зробити висновок, що для того, щоб знайти модуль частки, треба модуль діленого поділити на модуль дільника. Якщо ділене і дільник від’ємні або мають однакові знаки, то в частці отримаємо додатне число.

Отже, щоб знайти частку двох від’ємних раціональних чисел, треба поділити модулі цих чисел.

Щоб знайти частку раціональних чисел з різними знаками, треба поділити модуль діленого на модуль дільника і перед отриманою часткою поставити знак мінус.

Наприклад, –12,4 : 6,2 = –(|–12,4| : |6,2|) = –(12,4 : 6,2) = –2

Особливі випадки ділення раціональних чисел: