Урок 4. Множення і ділення цілих від’ємних і додатних чисел

Множення цілих чисел

Правило множення цілих чисел звучить так:

Щоб помножити цілі числа, треба перемножити їх абсолютні величини і перед результатом поставити знак плюс, якщо обидва співмножники мають однакові знаки, або мінус, якщо співмножники мають різні знаки.

Наприклад,

-4 ⋅ 5 = - (|-4|⋅|5|) = - (4 ⋅ 5) = -20

-4 ⋅ (-5) = |-4|⋅|-5|= 4 ⋅ 5 = 20

4 ⋅ 5 = |4|⋅|5|= 4 ⋅ 5 = 20

4 ⋅ (-5) = - (|4|⋅|-5|) = - (4 ⋅ 5) = -20

Множення чисел з різними знаками

Щоб помножити числа з різними знаками, треба перемножити модулі множників і перед добутком поставити знак мінус.

Наприклад, 8 ⋅ (-7) = - (|8|⋅|-7|) = - (8 ⋅ 7) = -56

Як множити від’ємні числа?

Щоб помножити від’ємні числа, треба перемножити їх модулі і перед добутком поставити знак плюс.

Наприклад, (-8) ⋅ (-7) = |-8|⋅|-7| = 8 ⋅ 7 = 56

Як множити додатні числа?

Про різні методи і правила множення натуральних чисел читайте в нашому уроці: Множення натуральних чисел. Множення в стовпчик. Закони, правила і приклади

Множення декількох цілих чисел

Як визначити знак добутку, якщо множників більше двох і вони мають різні знаки? Для знаходження добутку декількох множників цілих чисел треба перемножити модулі множників і перед результатом поставити знак:

– якщо кількість від’ємних співмножників парне число, то добуток буде додатним, перед результатом ставимо знак «+»;

– якщо кількість від’ємних співмножників непарне число, то добуток буде від’ємним, перед результатом ставимо знак «-»;

Приклад. Знайти добуток: -5 ⋅ 2 ⋅3 ⋅ (-4) ⋅ (-10) 

-5 ⋅ 2 ⋅3 ⋅ (-4) ⋅ (-20) = - 2400 (обчислили добуток абсолютних величин множників, перед добутком ставимо знак мінус, адже кількість від’ємних співмножників складає 3, непарне число)

Приклад. Знайти добуток: 8 ⋅ 4 ⋅ (-2) ⋅ (-10) ⋅ 6

8 ⋅ 4 ⋅ (-2) ⋅ (-10) ⋅ 6 = 3840

Пояснення: виконали множення абсолютних величин множників, перед добутком ставимо плюс або нічого не ставимо, оскільки кількість від’ємних співмножників равна 2 - парне число

Властивості множення цілих чисел: переставна, сполучна, розподільна

Для множення цілих чисел справджуються переставна, сполучна і розподільна властивості:

Переставна властивість: від перестановки множників місцями добуток не зміниться. Для будь-яких цілих чисел виконується рівність:

Перевіримо на прикладі:

-3 ⋅ (-9) = (-9) ⋅ (-3)

Адже -3 ⋅ (-9) = 27 і (-9) ⋅ (-3) = 27

Сполучна властивість:

Де a, b, c- будь-які цілі числа

[–8 ⋅ (–3)] ⋅ 2 = 24 ⋅ 2 = 48

–8 × (–3 × 2) = -8 ⋅ (-6) = 48

Тому [–8 ⋅ (–3)] ⋅ 2 = –8 × (–3 × 2)

Розподільна властивість:

Для будь-яких цілих чисел a, b, c виконується рівність:

Перевіримо розподільну властивість множення цілих чисел на прикладі:

(–5 + 9) ⋅ (–7) = 4 ⋅ (-7) = -28

(–5 + 9) ⋅ (–7) =- 5 ⋅ (-7) + 9 ⋅ (-7) = 35 – 63 = -28

Отже, (–5 + 9) ⋅ (–7) =- 5 ⋅ (-7) + 9 ⋅ (-7)

Множення цілих чисел на 0, 1 і -1

а × 0 = 0 , де а – будь-яке ціле число

Добуток цілих чисел, хоча б один множник яких дорівнює 0, дорівнює нулю.

Для будь-який цілих чисел виконуються наступні рівності:

Ділення цілих чисел

Ділення двох від’ємних цілих чисел та двох чисел із різними знаками має той же зміст, що й ділення додатних чисел: за даним добутком і одним із множників за допомогою ділення визначають другий множник.

Якщо (-4) ⋅ 6 = -24, то (-24) : (-4) = 6 і (-24) : 6 = -4

Розглянемо детальніше рівність (-24) : (-4) = 6 – в ній ділене дорівнює -24, дільник дорівнює -4 і частка від ділення дорівнює 6

Знайдемо абсолютні величини кожного компонента:

|-24| = |24|, |-4| = |4|, |6|= |6|

Можна зробити висновок, що для знаходження модуля частки треба поділити модуль діленого на модуль дільника. Якщо ділене і дільник є від’ємними числами, то частка буде додатним числом.

Як правильно ділити від’ємні числа?

Щоб знайти частку двох від’ємних цілих чисел, треба поділити модулі цих чисел. Частка буде додатним числом.

Як правильно ділити числа з різними знаками?

Щоб поділити числа з різними знаками, треба модуль діленого поділити на модуль дільника і перед результатом поставити знак мінус.

–18 : 6 = –(|–18| : |6|) = – (18 : 6) = -3

Ділення цілих чисел, якщо ділене або дільник дорівнює 0 або 1

а – будь-яке ціле число, але в першій і третій рівностях а ≠ 0.

Адже цілі числа на 0 ділити не можна.