Додавання і віднімання від’ємних чисел, з різними знаками

Оскільки цілі числа можуть бути не лише додатними, а й від’ємними, варто знати правила їх додавання і віднімання.

Додавання цілих чисел

Додавання від'ємних чисел

Для того щоб додати два від’ємних числа, треба додати їх модулі і поставити перед сумою знак мінус. Тобто, сумою двох від’ємних чисел є число від’ємне, модуль якого дорівнює сумі модулів доданків.

Наприклад, знайти суму чисел -4 і -6

-4 + (-6) = - (4+6) = -10

Зверніть увагу, перший доданок і суму чисел пишуть зі знаком мінус без дужок. Всі інші доданки записують з дужками.

Як додати додатні числа?

Знаходження суми додатних чисел відбувається згідно правил додавання натуральних чисел. Детальніше читайте тут.

Як додати два протилежні числа?

Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.

-7 + 7 = 0

-150 + 150 = 0

30 + (-30) = 0

Як додати числа з різними знаками?

Правило додавання чисел з різними знаками звучить так:

Щоб додати числа з різними знаками, треба знайти різницю їх модулів (від більшого відняти менший модуль) і перед результатом поставити знак числа з більшим модулем.

-6 + 4 = -2 (адже 6 – 4 = 2, ставимо знак мінус перед результатом)

-15 + 25 = 10 (адже 25 – 15 = 10, перед результатом знак плюс, який можна не ставити).

Переставна і сполучна властивості додавання цілих чисел

Для додавання цілих чисел користуються переставною і сполучною властивостями.

Нагадаємо переставну властивість додавання: від перестановки доданків значення суми не зміниться: а + b = b + а, де а і b – будь-які цілі числа

Наприклад, -4 + (-6) = - (4 + 6) = -10

-6 + (-4) = - (6 + 4) = -10, отже -4 + (-6) = -6 + (-4)

-8 + 12 = 4, 12 + (-8) = 4, тому -8 + 12 = 12 + (-8)

Сполучна властивість додавання цілих чисел: Для будь-яких цілих чисел а, b і с виконується наступна рівність: (a + b) + с = а + (b + с).

[–20 + (–10)] + 6 = -30 + 6 = -24

[–20 + (–10)] + 6 = -20 + (-10 + 6) = -20 + (-4) = -24

отже, [–20 + (–10)] + 6 = -20 + (-10 + 6)

Властивості додавання цілих чисел варто використовувати для спрощення розрахунків, особливо, коли вираз містить декілька доданків, зручно групувати додатні числа і від’ємні.

Наприклад, -25 + 16 + (-10) + (-5) + 14 = [-25 + (-10) + (-5) ] + (16 + 14) = -40 + 30 = -10

Розкриття дужок

В математиці часто зустрічаються приклади на додавання цілих чисел з декількома доданками і дужками. Тому важливо правильно розкрити дужки і виконати арифметичні дії.

а + (b + с) – такий вираз можна записати без дужок:

Таку операцію називають розкриттям дужок.

Розглянемо деякі типові приклади з розкриттям дужок:

а + (–b + с)

Отже, а + (–b + с) = а – b + с

Як розкрити дужки? Основні правила:

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак <<+>>, потрібно прибрати дужки та знак <<+>>, який стоїть перед дужками, та записати всі числа, які були у дужках, зі своїми знаками

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак <<–>>, необхідно прибрати дужки та знак <<–>>, який стоїть перед дужками, та записати всі числа, що стояли у дужках із протилежними знаками.

Розглянемо розкриття дужок в такому виразі: a – (b + c)

Відкриємо дужки у виразі:

a – (b - c) = a – (+b – c) = a – b + c

Віднімання чисел з різними знаками і від'ємних чисел. Алгебраїчна сума

Віднімання від’ємних чисел і чисел з різними знаками за своєю сутністю схоже до віднімання додатних чисел. За допомогою віднімання можна знайти невідомий доданок, віднявши від суми відомий доданок.

-13 + (-7) = -20, то -13 = -20 – (-7)

Щоб від одного числа відняти друге, треба до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику.

Тобто a – b = a + (–b), де a і b – будь-які цілі числа

Оскільки віднімання цілих чисел можна замінити додаванням, то кожен вираз, який містить декілька додавань і віднімань, можна подати у вигляді суми з тими ж абсолютними величинами. Їх називають алгебраїчними сумами.

Алгебраїчна сума — це вираз, який можна зобразити у вигляді суми додатних і від'ємних чисел

Приклад. Розв’язати -15 – 6

Нам потрібно знайти різницю чисел -15 і 6. Даний вираз можна записати як суму чисел: -15 і -6

-15 – 6 = -15 + (-6) = -21

Правильним буде і твердження навпаки: суму чисел можна записати як різницю: -15 + (-6) = -15 – 6 = -21

Приклад. Знайти різницю чисел -15 і -6

-15 - (-6) = -15 +6 = -9

Відрізок на координатній прямій: як знайти довжину відрізка за координатами

Розглянемо координатну пряму, на якій зображено точки з координатами О (0), А (3) і В (-3). Знайдемо довжину відрізку ВА, тобто кількість одиничних відрізків. На рисунку нижче бачимо, що довжина відрізка ВА складає 6 одиничних відрізків.