Урок 9. Як знайти область визначення та область значень функції

Що таке область визначення функції?

Область визначення функції – це множина всіх значень змінної х, при яких функція має зміст.

Тобто, це всі допустимі значення аргументу (х), при яких функція (у) може існувати.

Що таке область значень функції?

Область значення – це множина усіх значень, яких набуває функція, тобто значень змінної у.

Як знайти область визначення функції?

Існує декілька способів знаходження області визначення функції. Більше того, область визначення функції залежить від формули, якою вона задана. Розглянемо детальніше.

Функція-многочлен. В цьому випадку функція існуватиме при будь-яких значеннях аргументу (х). Область визначення такої функції – всі дійсні числа.

Функція задана формулою, яка містить аргумент у знаменнику дробу. Область визначення функції включає всі дійсні числа, крім тих, які перетворюють знаменник в нуль (адже на нуль ділити не можна).

Функція задана формулою, яка містить арифметичний квадратний корінь. Область визначення такої функції включає всі дійсні числа, при яких підкореневий вираз набуває невід’ємних значень.

Якщо для деякої функції y = f(x), де f(x) – певний вираз, не вказано область визначення, то вважають, що область визначення такої функції збігається з множиною всіх тих значень х, при яких вираз f(x) має числові значення.

Повернемось до питання знаходження області визначення функції. Першим важливим кроком є визначення типу функції.

Наприклад, квадратична функція має вигляд:

Функція, що містить дріб

Функція, що містить корінь

Після цього переходимо до запису області визначення. Область визначення може бути записана в квадратних і/або круглих дужках. Якщо значення не входить в область визначення, для запису використовують круглу дужку, якщо треба показати, що певне значення входить в область визначення функції, то застосовують квадратну дужку. Якщо потрібно вказати декілька несуміжних областей визначення, пишуть символ ∪.

Наприклад, область визначення [–7, 15) ∪ (15, 7] включає -7 та 7 і не включає 15.

Якщо потрібно вказати значення області визначення до нескінченності  ∞, то використовують круглу дужку. Наприклад, [9; ∞).

Якщо функція містить дріб, прирівняйте її знаменник до нуля

Оскільки на нуль ділити не можна, прирівнявши знаменник функції до нуля, ми знайдемо значення аргмуенту (х), яке потрібно виключити з області визначення функції.

Приклад. Знайдіть область визначення функції:

Знаменник дробу (х – 1) прирівнюємо до нуля:

Х – 1 = 0, отже, х = 1

Можемо сказати, що область визначення функції – це всі дійсні числа, за винятком 1.

Отже, область визначення функції: (–∞, 1)  (1, ∞)

Відповідь: (–∞, 1)  (1, ∞)

Якщо функція містить квадратний корінь, то підкореневий вираз має бути більшим або дорівнювати нулю.

Оскільки квадратний корінь можна добути лише з додатних чисел або нуля, тому з області визначення функції треба виключати такі значення х, при яких підкореневий вираз є від’ємним.

Приклад. Знайти область визначення функції:

Підкореневий вираз даної функції: х + 3

Згідно правила знаходження області визначення: х + 3 ≥ 0 (підкореневий вираз більший або дорівнює нулю). Тому х ≥ –3

Отже, область визначення функції – всі дійсні числа, які більші або рівні -3.

Відповідь: [–3, ∞)

Приклад. Знайти область визначення та область значення функції:

Дана функція містить дріб і підкореневий вираз (х). Тому, в першу чергу, х ≥ 0. При х ≥ 0 знаменник не дорівнюватиме нулю. При кожному допустимому значенні х знаменник буде додатним числом, яке менше або дорівнює 1. Тобто, область значення функції 0 < у ≤ 1

Відповідь: х ≥ 0; 0 < у ≤ 1

Числові проміжки: відкриті інтервали і закриті сегменти

Область визначення та область значень функції утворюють певні числові проміжки, які можуть бути відкритими або закритими.

 Замкнутий проміжок (сегмент) – це множина дійсних чисел, що містить найбільше та найменше з цих чисел: a ≤ x ≤ b або [a, b]

Відкритий проміжок (інтервал) – це множина значень  х, що задовольняють умову a < x < b. Позначають такий інтервал наступним чином: (a, b). Відповідно, кінці інтервалу не належать йому, інтервал не включає найбільше та найменше значення.

Крім того, проміжки можуть бути напіввідкритими (включати лише один кінець). Наприклад, a < x ≤ b  або (a, b]; a ≤ x < b  або [a, b).

Як знайти область визначення, область значень функції за графіком?

Знайти область визначення та область значення функції можна і за допомогою графіка. Для знаходження області визначення необхідно необхідно спроектувати графік на функції на вісь Ох, для знаходження області значення – на вісь Оу.

Областю значень багатьох квадратичних функцій є (–∞, 0]  чи  [0, ∞). Адже графіком квадратичної функції є деяка парабола з вершиною. Якщо координата вершини параболи рівна  –8 і парабола зростає, то область значень функції буде [–8, ∞). Побудувавши графік функції легко побачити мінімальне значення (якщо нема, то графік йде в безкінечність)  або максимальне значення (якщо нема, то графік йде в безкінечність).

Для побудови графіку функції рекомендуємо користуватися спеціальними графічними калькуляторами або зробити це самостійно, підставивши декілька значень х та у і нанісши їх на координатну площину.

Приклад. Знайти область визначення і область значення функції по графіку.

На графіку бачимо, що вздовж осі х функція прямує в безкінечність, не перетинаючи її. Тобто, область визначення функції: (–∞, –∞).

Область значень чітко встановлена – від 0 (не включно) до 9 (включно): (0, 9]

Відповідь: х: (–∞, –∞), у: (0, 9]

Приклад. Знайти область визначення і область значення функції по графіку

Область визначення функції від -4 до 3 включно або [–4; 3]

Область значень функції: від -2 до 3 включно або [–2; 3]