Урок 1. Координатна площина. Довжина і середина відрізка

Прямокутна (декартова) система координат на площині

Прямокутна система координат складається з двох взаємно перпендикулярних прямих Ох та Оу, які перетинаються у точці О, і одиничного відрізку. Точку О заведено називати початком координат.

Прямокутну систему координат ще називають прямокутною декартовою системою координат.

Що таке координатна площина? Вісь абсцис і ординат

Щоб краще розуміти вищеописане визначення, проведемо на площині дві перпендикулярні координатні прямі, позначивши їх буквами x і y. Ці прямі перетинаються у точці О, яка є початком відліку (початком координат).

Координатна площина – це площина, на якій задано такі координатні прямі x і y, які перетинаються в точці О (початку координат). Відповідно пряму x заведено називати віссю абсцис, пряму y – віссю ординат.

Координатні чверті

Осі координат Х і У, перетинаючись в точці О, ділять всю площину на чотири координатні чверті. У межах кожної чверті знаки координат точок не змінюються. Наприклад, в першій чверті будь-яка точка має додатні координати (+; +); в другій чверті: (-; +), наприклад, точка А (-2; 3); в третій чверті (-; -) і в четвертій чверті (+; -). Як бачимо, кожній точці на координатній прямій відповідає пара чисел, яка в залежності від чверті координатної площини, є додатною або від’ємною. Варто зазначити, якщо точка лежить на координатній осі, то вона не належить до жодної чверті.

Зображення координатної площини та чвертей координат

Розглянемо більш детально точку А, що зображена на координатній площині на рисунку вище. Точка А має координати (-2; 3), адже спочатку записують координати осі абсцис (Оx), координата Оx = -2 і називається абсцисою. Координата Оy, її називають ординатою, дорівнює 3.

Особливості координатної площини та координатних прямих

• Точка О, яка є початком координат, має нульові координати – О (0; 0)
• Ординати всіх точок, що лежать на осі абсцис (х), дорівнюють нулю
• Абсциси всіх точок, що лежать на осі ординат (у), дорівнюють нулю
• Кожна точка на координатній площині має лише одну пару координат
• Кожній парі чисел відповідає лише одна точка координатної площини

Відстань між двома точками із заданими координатами: формула, як знайти довжину відрізка

Нехай на координатній площині є дві точки з наступними координатами А (х1; у1) і B (х2; у2). Позначимо відстань між цими точками буквою d або АВ.

Тоді формула знаходження відстані між точками А і В матиме вигляд:

Приклад. Знайдіть відстань між точками А і В, якщо А (9; 1), В (5; -2)

Розв’язання:

Використаємо формулу відстані між точками із заданими координатами:

Відповідь: відстань між точками А і В або довжина відрізка дорівнює 5

Координати середини відрізка: як знайти?

Нехай точка С з координатами х та у є серединою відрізка АВ, де А (х1; у1), B (х2; у2) і С (х; у).

Координати х та у середини відрізка знаходять за такими формулами:

Приклад. Знайдіть координати середини відрізка А (–3; 4) і В (1; 2)

Розв’язання:

С (х; у) є серединою відрізка АВ

х = (-3 + 1) : 2 = -1

у = (4 + 2) : 2 = 3

Отже, С (-1; 3)

Відповідь: С (-1; 3) або координати середини відрізка: -1 і 3