Урок 11. Зростання і спадання функції. Проміжки монотонності

Що таке зростаюча функція?

Функція називається зростаючою на даному проміжку, якщо для двох довільних значень аргументу з цього проміжку більшому значенню аргументу відповідає і більше значення функції.

Іншими словами, для довільних значень аргументу при умові, що  і , це означає, що функція f(х) зростає на цьому проміжку.

Таким чином, про зростання або спадання функції можна говорити не на всій області визначення даної функції, а на певних проміжках.

Якщо функція зростає на всій області визначення, то таку функцію називають зростаючою.

Що таке спадна функція?

Функція називається спадною на даному проміжку, якщо для двох довільних значень аргументу з цього проміжку більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Відповідно функція спадає на проміжку, якщо виконуються наступні умови:

Якщо функція спадає на всій області визначення, то таку функцію називають спадною.

Проміжки монотонності функції

Функції, які на певному проміжку або зростають, або спадають, називають монотонними на цьому проміжку.

Відповідно для зростаючої функції на певному проміжку при збільшенні аргументу (х) спостерігаємо піднімання функції все вище на цьому проміжку; для спадної – графік опускатиметься вниз на цьому проміжку.

Приклади зростаючих і спадних функцій

Дано графіки функцій з областю визначення на проміжку [–1; 4]. Визначіть вид функції

Функція є зростаючою, оскільки вона зростає на всій області визначення, тобто на проміжку [–1; 4]. Зі збільшенням х, зростає значення функції у.

Дана функція є спадною, оскільки вона спадає на всій області визначення. При збільшенні аргументу, значення функції зменшується.

З графіку бачимо, що функція як зростає, так і спадає на окремих проміжках. Так, на проміжку [–3; 2] графік зростає, тобто функція є зростаючою (при збільшенні х зростає значення у); на проміжку [2; 5] функція спадає, адже при х = 3, у = 1,7, при х = 4, у = 0, що є ознакою спадання функції. На проміжку [5; 7] функція знову зростає. Тому можемо зробити висновок, що функція не є ні зростаючою, ні спадною на всій області визначення, їй характерно зростання та спадання на окремих проміжках. 

Наведемо ще приклади зростаючих функцій:

Приклади спадних функцій:

у = –2х, у = –х

Приклад. Визначити типи функцій

Функція є зростаючою на проміжку, де х > 0 і спадною на проміжку  х < 0.

При всіх дійсних значеннях х функція буде зростати