Урок 10. Нулі функції та проміжки знакосталості

Що таке нулі функції?

Нулі функції – це значення аргументу (х), при яких функція (у) перетворюється в нуль.

Як знайти нулі функції?

Для кращого розуміння розглянемо конкретний приклад і визначимо графічно, нулі функції.

Приклад

Виходячи з визначення нулів функції, шукаємо, при яких значеннях аргументу функція дорівнює нулю.

На графіку бачимо, що функція перетворюється в нуль тричі – при х = –1, х = 4  або  х = 6. Дані значення аргументу х називають нулями функції.

Отже, графічно визначити нулі функції досить просто – треба побачити всі значення х, при яких у = 0, тобто, точки перетину графіку функції з віссю х.

Крім того, знайти нулі функції можна, розв’язавши рівняння. Для цього потрібно прирівняти функцію до нуля (у = 0)

Скільки нулів має функція?

Функція може мати 1 або декілька нулів. Крім того, існують функції, які не мають нулів. Все залежить від виду фінкції.

Проміжки знакосталості функції: як знайти?

Ще одна важлива особливість нулів функції – вони розбивають область визначення функції на проміжки знакосталості.

Проміжки знакосталості – це проміжки, на яких функція набуває значень одного знаку.

Знайти проміжки знакосталості можна за допомогою графіку або аналітичним способом, визначивши попередньо нулі функції. Після цього для кожного проміжку визначаємо знак функції (додатній чи від’ємний) за допомогою графіку або підставивши значення аргументу в функцію і виконавши обчислення

Приклади знаходження нулів функції та проміжків знакосталості

Приклад. Знайдіть нулі функції у = х -10

у = х - 10 = 0

х = 10

Відповідь: нуль функції х = 10 (одне значення)

Приклад. Знайдіть нулі функції у = х ⋅ х - 10х

х ⋅ х - 10х = 0

х (х – 10) = 0

х = 0 або х = 10

Відповідь: нулі функції х = 10, х = 0

Приклад

Дано функцію на рисунку нижче:

На рисунку бачимо, що нулі функції (значення х, при яких у перетворюється в нуль) при х = -3 та х = 7

Нулі функції розбивають область визначення функції (проміжок  [–5; 9]) на 3 проміжки: [–5; –3), (–3; 7)  і  (7; 9]. На проміжках [–5; –3) і (7; 9] функція у знаходиться в 3 і 4 чвертях, набуває від’ємного значення. А на проміжку (–3; 7) функція набуває додатних значень.

Приклад

Визначити  проміжок, якому належать нулі функції

Для знаходження нулів функції, розв’яжемо рівняння:

Приклад

Визначіть проміжки, на яких функція f (x) = –4х + 16 набуває додатніх значень.

Для того, щоб знайти проміжки, де функція набуває додатних значень, треба розв’язати нерівність:

–4х + 16 > 0

-4x < -16

х < 4

Отже, х ∈ (-∞; 4)