Множення дробів: як множити дроби з різними знаменниками

Множення звичайних дробів з різними, однаковими знаменниками

Як помножити дріб на дріб? Пропонуємо правило множення звичайних дробів, яке звучить так:

Щоб помножити один дріб на другий дріб, треба помножити чисельник на чисельник, а знаменник на знаменник. Перший добуток буде чисельником, а другий – знаменником добутку.

Дане правило є актуальним для множення всіх видів звичайних дробів – дробів з однаковими знаменниками, дробів з різними знаменниками, правильних і неправильних дробів.

Виконуючи множення, варто скорочувати дроби при можливості. Крім того, якщо добуток дробів неправильно число, то варто перетворити дріб, виокремивши цілу частину. Наприклад,

Для того щоб пояснити правило і алгоритм множення дробів, розглянемо площу деякого квадрата зі стороною 1 одиниця.

Ми розділили квадрат на прямокутники зі сторонами 1/8 і ¼. Відповідно великий квадрат складається з 32 прямокутників (4 ⋅ 8 = 32). Тому площа одного прямокутника складає 1/32 частини площі загального квадрата.

На малюнку вище ми заштрихували великий прямокутник, який складається з 5 прямокутників по горизонталі і 3 прямокутників по вертикалі. Відповідно сторони цього заштрихованого прямокутника рівні: 5/8 од. і 3/4 од. Тому площа прямокутника дорівнює:

З іншої сторони, заштрихований прямокутник складається з 15 маленьких прямокутників, тому його площа дорівнює 15/32 од. Тому:

Отже, 5 ∙ 3 = 15 і 8 ∙ 4 = 32

Це і підтверджує правильність формули множення звичайних дробів.

Приклад. Знайти добуток дробів сім одинадцятих і дев’ять восьмих.

Щоб помножити дані дроби, перемножимо чисельники і результат запишемо в чисельник, а також перемножимо знаменники, записавши добуток в знаменник.

Приклад. Помножити дроби

В даному випадку ми виконали не лише множення, а й скоротили дріб під час виконання даної дії.

Множення дробів на ціле число

Як помножити дріб на натуральне число? Для множення дробу на звичайне число користуються таким правилом:

Щоб помножити ціле число на дріб, треба помножити дане число на чисельник дробу і записати даний добуток у чисельник, а в знаменник добутку переписати знаменник дробу (множника) без змін.

де a/b – дріб, n – натуральне ціле число

Дане правило випливає із правила множення дробів. Адже натуральне число n можна представити як дріб з чисельником n і знаменником 1.

Для множення дробу на натуральне число виконується переставна властивість (від перестановки дробу і натурального числа місцями, добуток не зміниться):

Приклад

Приклад. Розглянемо множення числа 8 на дріб п’ять дванадцятих.

Цей приклад дещо відрізнятиметься від попередніх, адже в добутку ми отримаємо неправильний дріб, який варто скоротити і виділити цілу частину, тобто перетворити у мішане число.

Сама дія множення виглядатиме так:

В добутку ми отримали неправильний скоротний дріб. Оскільки НСК (40; 12) = 4, то можемо скоротити дріб, поділивши чисельник і знаменник на 4

Тепер виділимо цілу частину:

Покроковий запис множення виглядатиме так:

Зверніть увагу, виконати множення і скорочення можна було дещо іншим способом, розклавши чисельник і знаменник на прості множники. Проте результат залишається без змін:

Множення мішаних чисел

Щоб помножити мішане число на мішане число, треба попередньо представити їх у вигляді неправильних дробів, і після цього виконати множення згідно правила множення звичайних дробів.

Розглянемо множення дробів з цілими числами на прикладі

Щоб помножити ціле натуральне число на мішане число, то простіше окремо множити цілу і дробову частини.

Це правило можна довести, використовуючи розподільний закон множення.

Адже

Для множення дробів, мішаних чисел виконуються закони множення натуральних чисел, а саме переставний, сполучний і розподільний закони. Крім того, актуальними і будуть такі властивості множення:

Множення трьох і більше дробів

Оскільки всі закони і властивості множення натуральних чисел поширюються на множення дробів, тому для зручності обчислення добутку трьох і більше дробів, варто користуватися ними. Виконуючи множення декількох дробів, при необхідності можна переставляти множники місцями, і т.д.

Приклад. Виконайте множення дробів

Приклад. Знайти добуток дробів

Приклад. Знайти добуток 5 чисел

Розв'язання:

Для спрощення обчислення ми згрупували число 8 з дробом сім восьмих, а число 12 з дробом п’ять тридцять шостих. Це довзолило нам скоротити множники і упростити розв’язання.