Відношення чисел, властивості: як знайти відношення величин

Що таке відношення? Як знайти відношення двох чисел

В математиці та й в повсякденному житті часто проиходиться розв’язвати задачі на порівняння 2 величин. Частіше за все треба знаходити, у скільки раз одна величина більша або менша за другу. Виконуючи ділення двох чисел ми знаходимо частку або відношення чисел. Наприклад, якщо ми поділимо 21 на 3, в частці отримаємо 7. Іншими словами можна сказати, що відношення числа 21 до числа 3 дорівнює 7. Таке відношення записують двома способами: 21 :3 або 21/3.

Співвідношення або відношення – це число, що показує у скільки разів одна величина більша за другу або яку частину одна величина становить від другої.

Для запису співвідношення використовують знак ділення або дробову риску. Запишемо співідношення чисел у загальному вигляді:

Відповідно числа a і b прийнято називати членами співідношення, a – попередній член, b – наступний.

Основна властивість відношення

Якщо кожен член відношення помножити або поділити на одне і те саме число, яке не дорівнює нулю, то відношення не зміниться.

Для того щоб знайти співідношення двох величини, треба їх подати в однакових одиницях виміру.

Приклад. Обчислити співвідношення таких величин: 73 см і 2,92 м.

В цьому прикладі ми, в першу чергу, звели величини до однієї одиниці вимірювання, тобто в сантиметри. Для зручності конвертації рекомендуємо користуватись нашими калькуляторами:

Скорочення членів відношення і заміна відношення дробових чисел відношенням цілих чисел

Основна властивість відношення дозволяє нам виконувати такі дві важливі дії:

Скорочувати члени відношення
Замінювати співвідношення дробів співвідношенням цілих чисел

Розглянемо кожну таку дію на окремому прикладі.

Приклад. Скоротити члени співвідношення 72 : 54

72 : 54 = 4 : 3

В даному прикладі ми скоротили кожен член відношення на 18, тому отримали нове співвідношення 4 : 3

Приклад. Виконати заміну дробових і мішаних чисел на співвідношення цілих чисел:

В цьому прикладі ми спочатку перетворили мішане число у неправильний дріб, звели до спільного знаменника і після цього помножили кожний член співвідношення на спільний знаменник.

Взаємно-обернені відношення: приклади

Розглядаючи відношення, варто виокремити групу обернених відношень.

Два відношення називають взаємно оберненими, якщо попередній член першого відношення дорівнює наступному члену другого відношення і навпаки – наступний член першого відношення дорівнює попередньому члену другого відношення. Добуток взаємно-обернених співвідношень дорівнює одиниці.

Приклади взаємно-обернених відношень:

3 : 2 і 2 : 3

9/2 і 2/9

Як знайти відношення величин: задачі

Крім відношення чисел виокремлюють таку важливу категорію як відношення величин.

Відношення однорідних величин дорівнює відношенню чисел, що отримують при вимірі цих величин однією і тією самою одиницею; воно не залежить від вибору одиниці виміру.

Яскравим прикладом відношення різних величин є швидкість, яка дорівнює співвідношенню відстані і часу.

Задача. Оля пройшла 40 метрів за 10 секунд. Знайти співвідношення пройденого шляху і часу.

Розв’язання:

Співвідношення складе 40 метрів : 10 секунд = 4 м/с, що і буде швидкістю. Крім того, ми можемо перевести величини у км і год і визначити швидкість (співвідношення) у км/год.

40 м = 0,04 км, 10 с = 1/360 год

0,04 : 1/360 = 4,4 км/год

Відповідно 4 м/с = 4,4 км/год

Задача. Знайти співвідношення величин 1,5 км і 500 м

Розв’язання:

Спочатку приведемо величини до однієї одиниці виміру: 1,5 км = 1500 м (адже 1 км = 1000 м, 1,5 ⋅ 1000 = 1500)

Співвдіношення величин: 1500 : 500 = 3 : 1

Відповідь: 1,5 км : 500 м = 3 м : 1 м або 1,5 км співвідноситься до 500 м, як 3 до 1

Задача. Знайти співвідношення величин 400 г і 1,6 кг

Розв’язання:

Переведемо 1,6 кг в грами: 1,6 кг = 1600 г (адже 1 кг = 1000 г)

Отже, 400 : 1600 = 1 : 4

Відповідь: співвідношення 400 г і 1,6 кг дорівнює 1 : 4

Задача. Мама купила цукерки і фрукти у співвідношенні 2 : 5. Виберіть число, яким може бути виражена кількість цукерок і фруктів: 32, 28, 41,15

Розв’язання:

Позначимо кількість цукерок 2х, фруктів – 5х.

2х + 5х = 7х

Тобто кількість цукерків і фруктів повинна бути кратною числу 7 (про кратні числа читайте тут)

Зі всіх чисел підходить 28, адже воно кратне 7.

Задача. Роман проїхав 100 км за 2 год на скутері. Яку відстань проїхав Володимир, якщо відомо що він їхав на автомобілі зі швидкістю в 4 рази більшою.

Розв’язання:

Цю задачу можна розв’язати 2 способами. Розглянемо детальніше кожен із них:

1-ий спосіб:

Знайдемо швидкість Романа:

100 : 2 = 50 км/год – швидкість Романа

Знайдемо швидкість Володимира:

50 ⋅ 4 = 200 км/год – швидкість авто Володимира

Знайдемо відстань, яку проїхав Володимир, знаючи час і швидкість:

200 ⋅ 2 = 400 км. - проїхав Володимир

2-ий спосіб:

Якщо швидкість авто Володимира в 4 рази більша за швидкість велосипеда Романа, то за однаковий час він проїде в 4 рази більшу відстань:

100 ⋅ 4 = 400 км – проїхав Володимир

Відповідь: Володимир проїхав 400 км.

Задача. Олена купила путівку на море за 50 тис. грн., яка включає вартість проживання і проїзду. Відомо, що за проїзд дівчина заплатила 5 тис. грн. Яку частину від вартості путівки складає вартість проживання?

Розв’язання:

Для того, щоб знайти, яку частину складає вартість проживання, треба вартість проживання поділити на вартість путівки. Оскільки вартість путівки відома, знайдемо вартість проживання, віднявши від загальної вартості відому вартість проїзду:

50 – 5 = 45 тис. грн. – вартість проживання

Співвідношення вартості проживання до вартості путівки:

45 : 50 = 9 : 10 = 0,9

Відповідь: проживання складає 0,9 частини від загальної вартості путівки.