Ознаки подільності на 9, 7, 3. Розкладання на множники

Дільники числа. Прості і складені числа.

Дільник числа – це певне число, на яке дане число ділиться без остачі.

Виходячи з характеристики дільників числа, всі числа ділять на прості і складені. Просте число – це число, яке має лише лише два дільники – одиницю і саме число. Адже будь-яке натуральне число n можна поділи ти на 1 або на саме число (n) без остачі. Відповідно число 1 буде найменшим дільником, а число n – найбільшим дільником.

Будь-яке складене число має більш як два дільники. Відповідно складене число – це число, яке більше одиниці і не є простим. Число 1 не відносять ні до простих, ні до складених чисел, адже воно має лише один дільник – одиницю.

Тобто:

число 1 має 1 дільник (1);

число 2 – просте число, яке має два дільники (1 і 2);

число 3 – також просте число, яке без остачі ділиться на 1 і 3;

число 4 - складене число, яке має такі дільники: 1, 2, 4

Задача. Знайдемо всі дільники числа 12, розв’язавши задачу. Як можна поділити 12 яблук між 3 дітьми, не розрізаючи їх?

Очевидно, що 12 яблук можна розділити між 3 дітьми, давши кожному 4 яблука. Відповідно число 4 є дільником числа 12. Проте ми не можемо поділити поділити 12 на 5 без остачі, тобто число 5 не є дільником числа 12. Запишемо всі дільники числа 12 по порядку:

1, 2, 3, 4, 6 – тобто, число 12 має 5 дільників і є складеним числом.

Як знайти дільники числа?

Щоб знайти дільники числа, необхідно розкласти дане число на прості множники.

Приклад. Знайти всі дільники числа 30

Як знайти кількість дільників числа?

Щоб знайти кількість дільників певного числа, необхідно збільшити на одиницю показник степеня кожного співмножника канонічного розкладу даного числа і одержані числа перемножити.

Що таке кратне число

Будь-яке натуральне число, яке ділиться на дане натуральне число, називається кратним даному числу.

Наприклад, числа 28, 42, 140 діляться на 14, відповідно кажуть, що числа 28, 42 і 140 кратні числу 14. Для того, щоб знайти всі кратні числа 14, необхідно помножити 14 на прості множники: 1, 2, 3, 4, 5 і т.д. Відповідно ряд чисел, кратних числу 14, матиме вигляд: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154 і т.д.

Можна зробити висновок, що будь-яке натуральне число n має незліченну кількість кратних чисел. Причому n – буде найменшим кратним для даного числа

Числа, кратні 3

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 і т.д. - числа, які кратні 3

Числа, кратні 6

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 і т.д. - числа, які кратні 6

Які числа кратні 7?

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77 і т.д. - числа, які кратні 7

Таблиця простих чисел до 1000

Перевірити, чи є число простим, можна на нашому калькуляторі.

Таблиця складених чисел до 1000

Якщо ви не знайшли число від 2 до 1000 у таблиці простих чисел, це означає, що число є складеним.

Подільність суми

Ознайомившись з дільниками і кратними числами, розглянемо деякі властивості подільності. Подільність суми чисел визначається так:

Розглянемо дану властивість на прикладі.

Числа 12 і 6 діляться на 3, сума чисел 12 + 6 =18 також ділиться на 3

Числа 12 і 5. Число 12 ділиться на 3, проте 5 не ділиться на 3. Сума чисел 12 + 5 = 17 не ділиться на 3

Подільність різниці

Подільність добутку на число і числа на добуток

Подільність натуральних чисел

Для того щоб визначити, ділиться число на число націло чи з остачею, використовують ознаки подільності. Для натуральних чисел першого ряду такі ознаки будуть відрізнятись, тому розглянемо детальніше їх.

Ознаки подільності на 2. Що таке парні і непарні числа?

Всі числа, які діляться на 2 націло, називаються парними. Відповідно, числа, що не діляться на 2 називаються непарними.

0, 2, 4, 6, 8 – парні цифри. Відповідно на 2 діляться лише числа, які є кратними числу 2.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 і т.д. непарні числа, які не діляться на 2.

Тому можемо сформулювати ознаку подільності на 2 наступним чином:

На 2 діляться ті й лише ті натуральні числа, запис яких закінчується парною цифрою.

Тобто 30, 42, 54, 76, 28 і т.д. – дані числа діляться на 2, бо вони закінчуються парними цифрами.

Ознаки подільності на 3

На 3 діляться лише ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3

Тобто, для того щоб перевірити, чи число ділиться на 3 треба знайти суму його цифр, якщо сума ділиться на 3, то і відповідно саме число ділиться на 3.

Наприклад, число 256 – сума цифр 2 + 5 + 6 =13 не ділиться на 3, тому і число 256 не ділиться на 3. Адже 256 : 3 = 85 (ост. 1).

453 – сума цифр 4 + 5 + 3 = 12 ділиться на 3, тому і 453 ділиться на 3. 453 : 3 = 151

Ознаки подільності на 4

На 4 діляться лише парні натуральні числа, у яких дві останні цифри – або нулі, або утворюють число, яке ділиться на 4.

Тому 600 ділиться на 4 (600 : 4 = 150), 620 ділиться на 4 (бо 20 ділиться на 4), 5550 не ділиться на 4 (адже 50 не ділиться на 4)

Ознаки подільності на 5

На 5 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрами 0 або 5

Числа 80, 100, 135, 795 діляться на 5, проте 86, 138, 279 не діляться на 5

Ознаки подільності на 6

На 6 діляться ті парні натуральні числа, які діляться на 3. Або на 6 діляться лише парні натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3

Ознаки подільності на 7

На 7 діляться числа, якщо потроєна сума десятків разом з одиницями ділиться на 7.

Наприклад, перевіримо, чи ділиться число 1792 на 3: 3 ⋅ 9 + 2 = 29 ділиться на 7, тому і число 1792 ділиться на 7 (1792 : 7 = 256)

На 7 діляться числа, якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр та числа з двох останніх цифр ділиться на 7.

Наприклад, 175 ділиться на 7, оскільки 2 ⋅ 1 + 75 = 77 ділиться на 7

На 7 діляться числа, якщо сума чисел: числа без останньої цифри, та останньої цифри помноженої на 5, ділиться на 7.

Наприклад, 168 ділиться на 7, оскільки 16 + 5 ⋅ 8 = 56; 56 ділиться на 7, тому 168 ділиться на 7.

Ознаки подільності на 8

Число ділиться на 8 тоді й лише тоді, якщо число, утворене його трьома останніми цифрами, ділиться на 8 або містить три нулі.

Наприклад, 1000 : 8 = 125, 45448 : 8 = 5681, 2800 : 8 = 350

Ознаки подільності на 9

На 9 діляться тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9

Ознаки подільності на 10

На 10 діляться лише ті натуральні числа, які закінчуються нулем.

Ознаки подільності на 15

На 15 діляться ті натуральні числа, які діляться на 5 і 3

Ознаки подільності на 25

На 25 діляться ті натуральні числа, у яких дві останні цифри – або нулі, або утворюють число, яке ділиться на 25

Розкладання чисел на прості множники

На початку уроку ми дали визначення простим і складеним числам (див. пункт 1). Варто зазначити, що будь-яке складене число можна розкласти на прості множники. Тобто розкласти число на прості множники означає подати його у вигляді добутку простих чисел.

Наприклад, розкладемо число 30 на прості множники:

30 = 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 ⋅ 2

Як бачимо, число 30 розкладається на прості множники 5, 2, 3 незалежно від того з якого множника ми розпочали розкладання.

Алгоритм розкладання числа на прості множники, тобто, знаходження простих дільників числа наступний:

Згідно цього покрокового плану продовжуємо знаходити прості дільники, доки частка буде дорівнювати одиниці.

Приклад. Розкласти на прості множники число 490

Записуємо число 490 і проводимо вертикальну лінію. Найменшим простим дільником числа 490 є число 2 , записуємо 2 праворуч від риски. Ділимо 490 на 2, отримуємо частку 245, записуємо зліва. Знаходимо найменший простий дільник числа 245 – число 5 записуємо справа навпроти числа 245. Ділимо 245 на 5, частку 49 записуємо зліва. Знаходимо найменший простий дільник числа 49 – це число 7. Частку від ділення 49 на 7 записуємо зліва. Найменший спільний дільник для числа 7 – це число 7, яке записуємо справа. Частка від ділення 7 на 7 – число 1 записуємо зліва. Оскільки частка рівна 1, розкладання на прості множники завершено. Прості множники числа 490: 2, 5, 7, 7