Урок 8. Масштаб карти і його види. Задачі на масштаб

Для чого потрібен масштаб?

Вивчаючи розділ процентів і відношення чисел, особливу увагу варто приділити поняттю масштаб. Дана категорія є важливою не лише в математиці, а й в географії, картографії, кресленні і в повсякденному житті. Більшість предметів важко зобразити на стандартному аркуші паперу через невідповідність розмірів. В таких випадках предмети креслять у зменшеному вигляді у певній пропорції, вказуючи, у скільки раз відповідні відрізки на папері менші (більші) відрізків в натурі. Тобто, використовують певний масштаб.

Що таке масштаб?

Масштаб – це відношення довжини відрізка на карті до довжини відповідного відрізка на місцевості (в реальності).

Для вирішення задач на масштаб необхідно, в першу чергу, перевести всі величини в одну. Масштаб карти відображають у сантиметрах. Для конвертації величин довжини рекомендуємо користуватись нашим калькулятором довжин і відстаней.

Масштаб є відношенням двох чисел. Перше число дорівнює 1 в більшості випадків (іноді перший член може бути більшим одиниці), друге число показує, у скільки разів довжина одиниці відстані (мм, см, дм, м або км) на карті менше або більше відповідної одиниці відстані в реальності.

Наприклад, на кресленні зображено відрізок між двома точками довжиною 1 см, а в реальності – відстань між точками складає 500 км, тому масштаб буде відношенням 1 см до 50000000 см (адже всі величини зводимо до однієї, в даному випадку до см – 500 км = 50000000 см) або 1 : 50000000        

Як визначити масштаб карти?      

Іншими словами, масштаб - це ступінь зменшення горизонтальних проекцій ліній місцевості при зображенні їх на плані чи карті.

Щоб визначити масштаб карти, потрібно скласти відношення відстані на карті до відстані на місцевості: М = L карти / L місцевості 

Часто масштабують земельні ділянки, позначаючи на карті відрізком 1 см, що відповідає 1 км або 1000 м в реальності. Оскільки 1000 м = 100000 см, то на карті кожен відрізок в 100 000 раз менший відрізку ділянки в місцевості. 1 : 100 000 = 0,000001. Кажуть, що така карта виконана у масштабі одна стотисячна (за назвою десяткового дробу, який можна отримати як співвідношення двох чисел масштабу 1 і 100000).

Якщо на карті (кресленні) відрізок має 4 см або 0,04 м, то в реальності довжина відрізку складає 4 ⋅ 100000 = 400000 см = 4000 м = 4 км.

Види масштабів

Приклади всіх видів масштабів зображено на рисунку нижче:

На кожній карті чи кресленні вказують масштаб. Розглянемо детальніше кожен із видів масштабів, а також їх позначення на картах.

Числовий масштаб

Числовий масштаб - це дріб, чисельник якого одиниця, а знаменник число, яке показує, у скільки разів горизонтальні проекції ліній зменшені на плані чи карті.

Приклади числових масштабів: 1 : 300, 1 : 2000, 1 : 10000

Такі масштаби означають, що горизонтальні проекції ліній місцевості зменшені відповідно в 300, 2000, 10000 раз.

Відповідно, чим більший знаменник масштабу, тим дрібніший масштаб карти.

Іменований масштаб

Іменований масштаб – це відображення за допомогою слів та цифр, яка відстань на місцевості відповідає одному сантиметру на плані або карті.

Приклади іменованих масштабів: в 1 см 200 м, в 1 сантиметрі 300 кілометрів, 1 см = 400 км 

Лінійний масштаб: що таке, як зобразити

Лінійний масштаб - це відрізок прямої, поділений на рівні частини з підписами значень відповідних їм відстаней на місцевості.

Зазвичай поділ відбувається на відрізки довжиною 1 см. Відрізок, який визначає довжину поділу, називають основою масштабу.

Як зробити лінійний масштаб: інструкція

Як перевести числовий масштаб в іменований?

Правило переведення числового масштабу в іменований:

Щоб перевести числовий масштаб в іменований, необхідно знаменник перевести із сантиметрів у метри (якщо в знаменнику число має п'ять нулів і більше, слід перевести його в кілометри). Для переведення в метри, від числа в знаменнику забираємо два нулі, якщо в кілометри – забираємо п’ять нулів.

Приклад. Перевести числовий масштаб 1 : 73000 в іменований.

Іменований масштаб: в 1 см 730 метрів.

Приклад. Перевести числовий масштаб 1 : 3500000 в іменований.

Іменований масштаб: в 1 см 35 км.

Як перевести іменований масштаб в числовий?

Щоб перевести іменований масштаб в числовий, необхідно другий член відношення (знаменник дробу) перевести в сантиметри або іншу величину, яка відповідає першій частині відношення.

Приклад. Перевести іменований масштаб в 1 см 75 м в числовий.

Числовий масштаб: 1 : 7500

Приклад. Перевести іменований масштаб в 1 см 2 км в числовий.

Числовий масштаб: 1 : 200000

Задачі на масштаб

Задача. На уроці креслення учень зобразив відстань від ліцею до магазину відрізком довжиною 4 см. Який масштаб використав учень, якщо в реальності відстань складає 400 м.

Розв’язання:

Щоб визначити масштаб, треба відстань на кресленні поділити на відстань в реальності: 4 см : 400 м = в 1 см 100 м або 1 : 10000

Відповідь: в 1 см 100 м або 1 : 10000

Задача. Який масштаб карти, якщо на карті 1 см відповідає 2,5 км на місцевості.

Розв’язання:

В 1 см 2,5 км або в 1 см 2500 м або 1 : 250000 (адже 2500 м = 250000 см)

Відповідь: 1 : 250000